Analyse du contrôle de maths sur la dérivation et le produit scalaire (Niveau Première)

Ce sujet de mathématiques pour la classe de Première spécialité est une évaluation complète sur les chapitres de la dérivation locale et du produit scalaire. Il est conçu pour tester à la fois les compétences graphiques, calculatoires et de raisonnement des élèves. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour se préparer à une évaluation en classe.

Exercice 1 : Interprétation graphique de la dérivation (3 points)

Cet exercice d'introduction teste la compréhension fondamentale du lien entre une fonction, sa dérivée et sa représentation graphique. On nous donne une fonction \(f\) et trois points de sa courbe : \(A(-1; -2)\), \(B(-2; -1)\) et \(C(0; -1)\). L'information cruciale réside dans les valeurs des nombres dérivés en ces points :

• \( f'(-1) = 0 \) : La tangente à la courbe au point A est horizontale.
• \( f'(-2) = -3 \) : La tangente au point B a une pente de -3.
• \( f'(0) = 2 \) : La tangente au point C a une pente de 2.

Les questions demandent de placer ces points, de tracer les segments de tangentes correspondants en respectant leur pente, et enfin d'esquisser une courbe plausible qui passe par ces points tout en étant tangente aux droites dessinées. C'est un excellent exercice pour visualiser le concept de nombre dérivé comme pente de la tangente.

Exercice 2 : Calcul de dérivées et équation de tangentes (3 points)

Ce deuxième exercice aborde l'aspect calculatoire de la dérivation. On étudie deux fonctions de référence : la fonction carré \(f(x) = x^2\) et la fonction racine carrée \(g(x) = \sqrt{x}\).

La première étape consiste à vérifier que le point \(A(1; 1)\) est un point d'intersection des deux courbes, ce qui se fait par un simple calcul d'image. La question principale est de déterminer l'équation de la tangente à chaque courbe en ce point A. Cela nécessite de :

• Calculer les fonctions dérivées : \(f'(x) = 2x\) et \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
• Calculer le nombre dérivé en \(x=1\) pour chaque fonction : \(f'(1)\) et \(g'(1)\).
• Appliquer la formule de l'équation de la tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Cet exercice est un classique indispensable pour maîtriser les bases du calcul de dérivation et ses applications géométriques.

Exercice 3 : Lecture graphique et identification de paramètres (5 points)

L'exercice 3 combine lecture graphique et calcul algébrique. À partir de la représentation graphique d'une fonction \(f\), on doit extraire des informations pour en déterminer l'expression analytique. La courbe \(C_f\) passe par les points \(A(1; 3)\) et \(B(2; 2)\) et admet des tangentes connues en ces points.

La première question demande de trouver graphiquement les nombres dérivés \(f'(1)\) et \(f'(2)\). Pour cela, il faut calculer le coefficient directeur des droites tangentes données, \((AA')\) et \((BB')\), en utilisant les coordonnées des points. La deuxième partie de l'exercice révèle que la fonction est de la forme \(f(x) = ax + b + \frac{c}{x}\). En utilisant les quatre informations collectées (deux points sur la courbe et deux valeurs de dérivées), on peut établir un système d'équations pour trouver les valeurs des constantes réelles \(a\), \(b\) et \(c\), après avoir calculé la dérivée \(f'(x) = a - \frac{c}{x^2}\).

Exercice 4 : Application du produit scalaire dans un repère (4 points)

Cet exercice fait la transition vers le second chapitre du contrôle : le produit scalaire. Dans un repère orthonormé, on nous donne trois points \(A(4; -3)\), \(B(12; 3)\) et \(C(11; -2)\). L'objectif est d'utiliser le produit scalaire pour analyser la géométrie du triangle ABC.

La première question demande le calcul de trois produits scalaires : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\), \(\vec{CA} \cdot \vec{CB}\) et \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\). Cela implique de d'abord calculer les coordonnées des vecteurs (\(\vec{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A)\)), puis d'appliquer la formule analytique du produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\). La deuxième question demande de déterminer si le triangle ABC est rectangle. La réponse découle directement des calculs précédents : si l'un des produits scalaires est nul, alors les vecteurs correspondants sont orthogonaux, et le triangle est rectangle en le sommet commun.

Exercice 5 : Produit scalaire et démonstration d'orthogonalité (5 points)

Ce dernier exercice est un problème de géométrie plus complexe qui se résout en deux approches, démontrant la puissance et la flexibilité des outils vectoriels. On considère deux carrés \(ABCD\) et \(AEFG\) partageant le sommet A. Le point I est le milieu de \([DE]\).

Partie A : Sans coordonnées. Cette partie se base sur le calcul vectoriel pur. Il faut utiliser les propriétés des vecteurs et la distributivité du produit scalaire. L'objectif final est de démontrer que les droites \((AI)\) et \((BG)\) sont perpendiculaires en montrant que le produit scalaire \(\vec{AI} \cdot \vec{BG}\) est égal à zéro.

Partie B : Avec coordonnées. Cette partie propose de résoudre le même problème en se plaçant dans un repère judicieusement choisi, ici \((A; \vec{AB}, \vec{AD})\). Il faut déterminer les coordonnées des points pertinents (A, I, B, G), puis calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AI}\) et \(\vec{BG}\). La démonstration de l'orthogonalité se résume alors à un simple calcul de produit scalaire avec les coordonnées.