Analyse du sujet de maths : Polynômes du Second Degré (Niveau Première)

Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité est centré sur le chapitre fondamental des polynômes du second degré. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue la maîtrise des concepts clés à travers des exercices variés allant de la résolution de problèmes concrets à l'analyse de fonctions avec paramètres. Ce document est un excellent support pour s'entraîner et réviser, offrant un aperçu complet des compétences attendues.

Exercice 1 : Étude de la trajectoire d'un ballon

Cet exercice de mise en situation utilise une fonction polynôme du second degré pour modéliser un phénomène physique, la trajectoire d'un projectile. La hauteur \(h\) du ballon en fonction du temps \(t\) est donnée par l'expression \(h(t) = -5t^2 + 20t + 25\).

• La première question, très directe, consiste à calculer la hauteur initiale du ballon, ce qui revient à évaluer la fonction pour \(t=0\). On trouve \(h(0) = 25\) mètres.
• La deuxième question demande de trouver l'instant où le ballon touche le sol. Il s'agit de résoudre l'équation du second degré \(h(t) = 0\). Les élèves doivent ici mobiliser leurs connaissances sur le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) pour trouver les racines du polynôme.
• La troisième question est une inéquation du second degré. Pour déterminer pendant combien de temps le ballon dépasse 40 mètres, il faut résoudre \(h(t) > 40\), soit \(-5t^2 + 20t + 25 > 40\). Cette inéquation se ramène à l'étude du tableau de signe d'un polynôme du second degré (ici, \(-5t^2 + 20t - 15 > 0\)) entre ses racines.

Exercice 2 : Problème d'optimisation d'aire

Cet exercice combine géométrie et polynômes dans un classique problème d'optimisation. L'objectif est de trouver la valeur minimale de l'aire d'un quadrilatère MNPQ inscrit dans un rectangle.

• La première étape consiste à modéliser la situation. Il faut exprimer l'aire \(A(x)\) du quadrilatère en fonction de la variable \(x\). Le calcul se fait en soustrayant l'aire des quatre triangles rectangles des coins à l'aire totale du rectangle, menant à la formule \(A(x) = 2x^2 - 8x + 15\).
• La seconde question est le cœur du problème : trouver la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire est minimale. Cela revient à trouver le minimum d'un polynôme du second degré. La méthode consiste à déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction \(A(x)\). L'abscisse du sommet, donnée par la formule \(\alpha = -b/(2a)\), donne la valeur de \(x\) qui minimise l'aire. Le minimum est alors \(A(\alpha)\).

Exercice 3 : Équation du second degré avec un paramètre

Cet exercice plus abstrait teste la capacité à analyser une famille d'équations dépendant d'un paramètre réel \(m\). L'équation étudiée est \((E_m) : mx^2 + (m-3)x + 1 = 0\).

• La première question est une condition d'existence : pour que \((E_m)\) soit une équation du second degré, le coefficient du terme en \(x^2\) doit être non nul, soit \(m \neq 0\).
• La deuxième question demande s'il existe une valeur de \(m\) pour laquelle \(-1\) est une solution. Il suffit de substituer \(x=-1\) dans l'équation et de résoudre l'équation du premier degré en \(m\) qui en résulte.
• La troisième question est une discussion complète. Il faut d'abord calculer le discriminant \(\Delta\) en fonction de \(m\). On obtient un nouveau polynôme du second degré en \(m\). Ensuite, il faut étudier le signe de ce discriminant en fonction des valeurs de \(m\) pour déterminer le nombre de solutions de l'équation \((E_m)\) : deux solutions si \(\Delta > 0\), une solution double si \(\Delta = 0\), et aucune solution réelle si \(\Delta < 0\).

Exercice 4 : Position relative de deux paraboles

Cet exercice demande d'étudier la position relative des courbes représentatives de deux fonctions polynômes du second degré, \(f(x) = 2x^2 + 8x + 4\) et \(g(x) = x^2 - 3\).

La méthode standard consiste à étudier le signe de la différence \(d(x) = f(x) - g(x)\). Le calcul donne \(d(x) = x^2 + 8x + 7\). L'étude se ramène donc à dresser le tableau de signe de ce nouveau polynôme du second degré. En fonction du signe de \(d(x)\), on peut conclure :
- Si \(d(x) > 0\), la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).
- Si \(d(x) < 0\), la courbe de \(f\) est en dessous de celle de \(g\).
- Si \(d(x) = 0\), les courbes se coupent. Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection.

Exercice 5 : Questions de cours (Vrai/Faux)

Ce dernier exercice rapide est un QCM de type Vrai/Faux qui vise à vérifier la compréhension profonde des propriétés des trinômes du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

• La première affirmation lie le signe du discriminant \(\Delta\) et le signe de la fonction. Si \(\Delta > 0\), la fonction change de signe, donc elle prend nécessairement des valeurs positives (et négatives).
• La deuxième affirmation est un piège classique. Si \(\Delta < 0\), la fonction a un signe constant, qui est celui de \(a\). L'affirmation \(f(x) < 0\) pour tout \(x\) n'est vraie que si, en plus, \(a < 0\).
• La troisième affirmation teste la connaissance d'une propriété des racines. Si \(a = b - c\), alors \(a - b + c = 0\). En calculant \(f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c\), on voit que \(f(-1) = 0\), donc \(-1\) est bien une racine du polynôme. C'est une application directe de la définition d'une racine.