Découvrez un sujet de contrôle complet pour la classe de Première spécialité, axé sur les chapitres fondamentaux des suites numériques et des polynômes du second degré. Ce document, présenté sans calculatrice, est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts clés, de la résolution d'équations à l'analyse de suites, en passant par l'algorithmique en Python. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences spécifiques et préparer efficacement aux examens. Ce contrôle corrigé est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et approfondir leur compréhension.

Exercice 1 : Notions fondamentales sur le second degré et les suites

Cet exercice de ce sujet de maths est une mise en bouche qui balaye les compétences de base des deux chapitres. Il est composé de trois questions indépendantes pour évaluer des savoir-faire variés.

• Question 1 : Résolution d'équation et factorisation. Il s'agit de résoudre l'équation du second degré \( -3x^2 - 5x + 2 = 0 \). La méthode classique avec le calcul du discriminant \( \Delta \) est attendue. Une fois les racines \( x_1 \) et \( x_2 \) trouvées, l'élève doit être capable de donner la forme factorisée du polynôme, \( a(x-x_1)(x-x_2) \).
• Question 2 : Variation d'une suite géométrique. On étudie le sens de variation de la suite \( (t_n) \) définie par \( t_n = 5^n \). C'est une suite géométrique de raison \( q=5 \). Comme \( q > 1 \) et que le premier terme est positif, la suite est strictement croissante. La justification peut se faire en étudiant le signe de \( t_{n+1} - t_n \) ou le rapport \( \frac{t_{n+1}}{t_n} \).
• Question 3 : Calcul des termes d'une suite récurrente. La dernière question introduit une suite \( (w_n) \) définie par son premier terme \( w_0 = 4 \) et la relation de récurrence \( w_{n+1} = \frac{2w_n + 1}{w_n + 5} \). L'objectif est simple : calculer les termes \( w_1 \) et \( w_2 \) en appliquant la formule successivement.

Exercice 2 : Étude approfondie de suites et algorithmique

Cet exercice se concentre sur l'étude de deux suites, l'une arithmétique et l'autre récurrente, avant de faire le lien avec un programme écrit en langage Python. C'est un exercice complet qui mêle calcul, démonstration et logique algorithmique.

• Question 1 : Calcul de termes. On demande de calculer les premiers termes des suites \( u_n = -3n+1 \) (suite arithmétique) et \( v_0 = -1, v_{n+1} = v_n - (n-1)^2 \). Il faut également utiliser la forme explicite de la suite arithmétique \( (u_n) \) pour calculer son 20ème terme.
• Question 2 : Sens de variation. Il faut ici démontrer le sens de variation des deux suites. Pour la suite arithmétique \( (u_n) \), la raison \( r = -3 \) étant négative, la suite est décroissante. Pour la suite \( (v_n) \), on doit étudier le signe de la différence \( v_{n+1} - v_n \). On trouve que \( v_{n+1} - v_n = -(n-1)^2 \), qui est une quantité négative ou nulle, prouvant que la suite est décroissante.
• Question 3 : Interprétation d'un algorithme Python. Un script Python est fourni. La première tâche consiste à l'exécuter "à la main" pour une valeur de \( n=3 \) et de déterminer ce qu'il affiche. Ensuite, il faut identifier la nature de la suite implémentée par l'algorithme. On reconnaît une suite arithmético-géométrique de la forme \( w_{n+1} = 3w_n + 2 \).

Exercice 3 : Suite homographique et algorithme de seuil

Le dernier exercice porte sur l'étude complète d'une suite de la forme \( u_n = \frac{an+b}{cn+d} \), aussi appelée suite homographique. Il se termine par la complétion d'un algorithme de seuil, un classique en Première.

• Question 1 : Conjecture de limite. On commence par une manipulation algébrique simple en calculant \( u_n - 1 \). Cette nouvelle expression permet de calculer rapidement les valeurs pour de grandes valeurs de \( n \) (99, 999, etc.) afin de conjecturer le comportement de la suite à l'infini. On devine que la suite tend vers 1.
• Question 2 : Étude du sens de variation. La méthode imposée est l'étude du signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \). Le calcul mène à \( u_{n+1} - u_n = \frac{-2}{(n+3)(n+2)} \). Le signe de cette expression est clairement négatif pour tout entier naturel \( n \), ce qui montre que la suite est strictement décroissante.
• Question 3 : Algorithme de seuil. La dernière question demande de compléter un programme Python qui doit trouver le plus petit entier \( n \) tel que \( u_n \le a \), où \( a \) est un réel donné. Il faut donc trouver la bonne condition d'arrêt pour la boucle `while` et s'assurer que la variable `n` est correctement incrémentée.