Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale Spécialité. Ce contrôle complet de 4 heures, noté sur 40 points, balaye les chapitres clés du programme : probabilités conditionnelles et loi binomiale, étude de fonctions (logarithme, limites, dérivation, convexité), suites numériques (récurrence, convergence) et géométrie dans l'espace. Idéal pour s'entraîner dans les conditions de l'examen final.

Ce sujet de maths type Bac vous permettra de tester vos connaissances et de vous perfectionner sur des exercices classiques. Chaque question est analysée pour mettre en lumière les méthodes et les théorèmes à maîtriser. Préparez-vous efficacement pour le jour J avec ce contrôle corrigé complet !

Exercice 1 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Cet exercice de probabilités, un classique du Bac, se divise en trois parties et aborde la modélisation d'une situation concrète de production industrielle.

• Partie A : Arbre pondéré et probabilités totales. On modélise une situation avec trois chaînes de montage et des taux de défauts différents. Il faut construire un arbre pondéré pour représenter les événements, calculer des probabilités d'intersections comme \(P(C_3 \cap D)\), puis utiliser la formule des probabilités totales pour démontrer que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est \(P(D) = 0,0145\). L'exercice se termine par un calcul de probabilité conditionnelle 'inversée' : \(P_{D}(C_3)\).
• Partie B : Loi binomiale. On s'intéresse à des lots de \(n\) composants et à une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) avec \(p=0,0145\). Pour \(n=20\), il est demandé de calculer des probabilités précises :
  • La probabilité d'avoir exactement 3 composants défectueux, \(P(X=3)\).
  • La probabilité de ne pas avoir plus de 2 composants défectueux, \(P(X \le 2)\).
  • La probabilité d'avoir au moins un composant défectueux, \(P(X \ge 1)\), qui se calcule plus simplement avec l'événement contraire.
  Enfin, une question de recherche de seuil demande de trouver le nombre maximal de composants \(n\) pour que la probabilité de n'avoir aucun défaut reste supérieure à un certain seuil, ce qui mène à la résolution d'une inéquation avec la fonction logarithme.
• Partie C : Calcul d'espérance. Une question simple pour conclure, où l'on calcule le coût moyen de fabrication d'un composant, ce qui revient à calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète.

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction logarithme

Cet exercice très complet porte sur l'analyse d'une fonction \(f\) définie à l'aide d'un logarithme, et mobilise un grand nombre de compétences sur les fonctions.

• Partie A : Lecture graphique et identification. À partir de la représentation graphique de la courbe \(\mathcal{C}_f\) et de sa tangente en un point \(A(1,3)\), on détermine graphiquement \(f(1)\) et le nombre dérivé \(f'(1)\). Ces valeurs permettent ensuite de déterminer les paramètres \(a\) et \(b\) de la fonction donnée sous la forme \(f(x) = \ln(ax^2+1)+b\).
• Partie B : Analyse de la fonction. On étudie la fonction \(f(x) = \ln(x^2+1) + 3 - \ln(2)\). L'étude est exhaustive :
  • Démonstration de la parité de la fonction.
  • Calcul des limites en \(+\infty\) et \(-\infty\).
  • Calcul de la dérivée \(f'(x)\) et étude de son signe pour dresser le tableau de variations complet de \(f\).
  • Utilisation du tableau de variations et du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour déterminer le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=k\).
  • Résolution d'une équation du type \(f(x)=c\) faisant intervenir la fonction logarithme.
• Partie C : Convexité et points d'inflexion. Cette partie se concentre sur l'étude de la convexité de la fonction \(f\). On commence par une conjecture graphique des points d'inflexion, puis on la vérifie par le calcul en déterminant la dérivée seconde \(f''(x)\). L'étude du signe de \(f''(x)\) permet de déterminer l'intervalle sur lequel la fonction est convexe. L'exercice se conclut sur la recherche de points de la courbe où la tangente est parallèle à une droite donnée, ce qui revient à résoudre l'équation \(f'(x)=m\).

Exercice 3 : Suites et fonctions

Cet exercice en deux parties lie l'étude d'une fonction à celle de deux suites récurrentes croisées.

• Partie A : Étude d'une fonction. On analyse la fonction \(f(x) = e^{-x} + \ln(x)\) sur l'intervalle \(]0, 1]\). On calcule sa limite en \(0^+\), on démontre l'expression de sa dérivée \(f'(x)\), et on étudie son signe pour en déduire les variations de \(f\). Le point culminant est l'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation \(f(L)=0\).
• Partie B : Étude de suites. On définit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) par une relation de récurrence croisée : \(a_{n+1} = e^{-b_n}\) et \(b_{n+1} = e^{-a_n}\). Après avoir complété un algorithme Python qui calcule les termes de ces suites, on utilise un raisonnement par récurrence pour démontrer une inégalité encadrant les termes des deux suites. Cette inégalité permet, via le théorème de la convergence monotone, de prouver que les suites convergent vers des limites respectives \(A\) et \(B\). La dernière question fait le lien avec la partie A, en montrant que \(f(A)=0\) et \(f(B)=0\), ce qui permet de conclure que \(A=B\) et donc que \(A-B=0\).

Exercice 4 : Géométrie dans l'espace et questions diverses

Ce dernier exercice est divisé en deux parties indépendantes, l'une sur la géométrie dans l'espace, l'autre sur des questions rapides de fonctions et de suites.

• Partie A : Géométrie dans l'espace. Le but est de prouver la concourance de trois droites \((IK)\), \((JL)\) et \((AC)\) dans un tétraèdre \(ABCD\). En se plaçant dans le repère \((B; \vec{BC}, \vec{BD}, \vec{BA})\), on détermine les coordonnées de plusieurs points (\(I, J, K, L\)). L'objectif est de montrer la colinéarité de vecteurs pour prouver la coplanarité de points, puis de justifier que deux droites sont sécantes pour enfin prouver que leur point d'intersection appartient à la troisième droite. C'est un exercice classique de géométrie vectorielle analytique.
• Partie B : Questions rapides. Cette partie teste la compréhension sur des points précis :
  • Une question sur les propriétés algébriques de la fonction logarithme (relation fonctionnelle).
  • Le calcul de limites d'une fonction quotient faisant intervenir le logarithme et les théorèmes de croissances comparées.
  • L'étude du sens de variation d'une suite définie par récurrence, en utilisant la méthode du quotient \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\).