Introduction
Allez les amis, on est parti pour régler définitivement le problème des limites par croissance comparée, c'est-à-dire des limites pour lesquelles on va utiliser une propriété du cours pour lever une forme indéterminée. On se fait ça tout de suite. Alors, je vous ai préparé un petit jeu. J'ai mis 4 limites au tableau. Dans ces quatre limites, il y a deux formes déterminées et deux formes qui ne sont pas indéterminées. La première chose à faire, avant même de parler de croissance comparée, c'est d'être capable de déterminer qu'est-ce qui est une forme indéterminée et qu'est-ce qui ne l'est pas.
Identification des formes indéterminées
Prenez deux minutes, faites pause et essayez de me trouver lesquelles de ces limites sont des formes indéterminées et lesquelles ne le sont pas. Alors, lesquelles sont des formes indéterminées ? Commençons avec la première : la limite quand \(x\) tend vers 0 de \(\ln(x) / x\). Donc, au brouillon, avant d'attaquer quoi que ce soit, on va faire la limite de chacun des deux termes. Donc \(\ln(x)\) en 0, je vous rappelle, tend vers \(-\infty\), et la limite de \(x\) en 0 est 0. La question est : est-ce que \(-\infty / 0\) est une forme indéterminée ?
Stratégie pour identifier les formes indéterminées
Je ne sais pas pourquoi, mais la grande majorité des élèves est convaincue que \(-\infty / 0\) est une forme indéterminée. Moi, j'ai une stratégie. Quand j'ai un de mes élèves qui n'arrive pas à savoir si c'est une forme indéterminée ou pas, je lui dis : "Écoute-moi, mon petit, tu vas me réécrire les quatre formes indéterminées." Parce qu'en fait, il n'y en a que quatre. Il n'y a que quatre situations où on est face à une forme indéterminée. Ces situations, c'est \(0 / 0\), \(\infty / \infty\), \(0 \times \infty\) et \(\infty - \infty\). Ce sont les seules formes indéterminées. Toutes les autres situations, vous avez l'intelligence pour deviner et pour comprendre quelle est la valeur de la limite.
Conclusion
Donc, vu que mon \(-\infty / 0\) ne fait pas partie de ces formes indéterminées, je réfléchis et je me dis : "Bon, finalement, une constante divisée par zéro, c'est se demander combien de fois on va rentrer ça là-dedans. Combien de fois je peux rentrer le dénominateur dans le numérateur ? Combien de fois je peux rentrer un truc très petit dans un truc très grand ?" Bah, imaginez que vous avez un petit pois et vous avez, par exemple, un stade de foot. Combien de fois je peux mettre un petit pois dans un stade de foot ? Il rentre une fois, il rentre deux fois, il rentre trois fois, il rentre un milliard de fois, il rentre 100 milliards de fois, il rentre une infinité de fois. Donc, cette limite là, ce n'est pas une forme indéterminée, mais c'est \(-\infty\).
Retenez que \(\ln(x)\) perd toujours ses combats de limites et si jamais ce n'est pas clair pour vous, retenez les deux croissances comparées qu'on a ici : \(\lim_{x \to 0} x^n = 0\) et \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0\). Et attention, on dit à chaque fois qu'on justifie que c'est par croissance comparée, il faut que le mot "croissance comparée" soit présent dans votre réponse. On vous a mis des exercices en dessous. Dans certains exercices, vous allez avoir directement des formes comme ça. Dans d'autres exercices, ça va être plus compliqué, il va falloir faire apparaître les formes de croissance comparée. On vous a mis des belles corrections. Entraînez-vous, à vous de jouer, vous êtes des champions.