Téléchargez ce sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la Première en spécialité maths, axé sur les chapitres des probabilités conditionnelles et des automatismes. Ce document PDF est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et maîtriser les notions clés avant leur évaluation. Le sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est conçu pour renforcer la compréhension des arbres pondérés, des tableaux à double entrée, de l'indépendance des événements et des formules de probabilités.

Exercice 1 : Automatismes

Cet exercice d'introduction vise à évaluer des compétences fondamentales et des réflexes calculatoires essentiels pour la spécialité mathématiques en Première. Il se compose de quatre questions indépendantes :

• Question 1 : Lecture et interprétation d'un arbre de probabilités. Il est demandé de calculer diverses probabilités à partir d'un arbre donné, en justifiant chaque réponse. Les calculs portent sur :
  • Une probabilité conditionnelle simple : \(P_A(B)\)
  • La probabilité d'une intersection : \(P(A \cap B)\)
  • Une probabilité totale : \(P(B)\) en utilisant la formule \(P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\)
  • Une probabilité conditionnelle nécessitant une inversion : \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
• Question 2 : Calcul littéral avec le développement de l'expression \(A = (2-4x)^2 + (3x-1)(-x+4)\), mobilisant les identités remarquables et la double distributivité.
• Question 3 : Résolution d'une équation du second degré de la forme \(x^2 - 100 = 0\), qui peut être résolue rapidement en reconnaissant une différence de deux carrés.
• Question 4 : Application des pourcentages avec le calcul d'un taux d'évolution global suite à deux évolutions successives (une hausse de 80% et une baisse de 90%).

Exercice 2 : Des jetons dans un sac

Ce deuxième exercice est un problème classique de probabilités discrètes en situation d'équiprobabilité. Il s'appuie sur la manipulation d'un tableau à double entrée pour organiser les données et calculer des probabilités.

• Question 1 : Il s'agit de traduire les informations de l'énoncé pour remplir un tableau croisé (ou tableau de contingence) qui répartit les jetons selon leur forme (carré/rond) et leur couleur (vert/bleu/noir).
• Question 2 : Calcul des probabilités simples des événements A (« le jeton est vert »), B (« le jeton est carré ») et C (« le jeton est carré et n'est pas bleu »).
• Question 3 : L'exercice aborde ensuite les intersections et unions d'événements. Il faut décrire l'événement \(A \cap B\), calculer sa probabilité, puis en déduire celle de l'union \(P(A \cup B)\) à l'aide de la formule fondamentale : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
• Question 4 : Utilisation de l'événement contraire \(\bar{A}\) et calcul de la probabilité de l'intersection \(\bar{A} \cap \bar{B}\).
• Question 5 : Calcul d'une probabilité conditionnelle dans le contexte du tableau : la probabilité qu'un jeton soit vert sachant qu'il est carré.
• Question 6 : La dernière question teste la compréhension de la notion d'indépendance de deux événements. Il faut déterminer si A et B sont indépendants en comparant le produit \(P(A) \times P(B)\) avec la probabilité de leur intersection \(P(A \cap B)\).

Exercice 3 : Les dossiers d'une compagnie d'assurance

Ce dernier exercice est un problème concret qui illustre l'application des probabilités conditionnelles dans le domaine des assurances. L'outil principal pour modéliser la situation est l'arbre pondéré.

• Question 1 : La première étape consiste à construire un arbre pondéré complet à partir des données fournies dans l'énoncé (pourcentages de dossiers avec frais matériels, frais corporels, etc.).
• Question 2 : Une fois l'arbre établi, il faut l'exploiter pour répondre à une série de questions sur la probabilité d'un dossier choisi au hasard :
  • Calculer la probabilité d'une intersection : \(P(R \cap D)\).
  • Calculer des probabilités d'événements exclusifs, comme "seulement des frais de réparation matérielle" (\(P(R \cap \bar{D})\)).
  • Utiliser la formule des probabilités totales pour trouver des probabilités plus complexes.
  • Calculer une probabilité conditionnelle qui nécessite d'inverser l'arbre de probabilité : calculer la probabilité qu'un dossier entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il a entraîné des frais de dommages corporels, soit \(P_D(R)\).

Ce contrôle de maths est un excellent outil de révision pour les élèves de première spécialité maths, couvrant de manière exhaustive le chapitre sur les probabilités conditionnelles. Le corrigé détaillé permet de s'auto-évaluer et de progresser efficacement.