Découvrez le corrigé détaillé de ce sujet de maths pour la classe de Première, spécialité mathématiques. Ce contrôle, d'une durée de 45 minutes et sans calculatrice, est une excellente ressource pour réviser et maîtriser les automatismes de calcul et le chapitre sur les taux d'évolution et pourcentages. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à consolider vos acquis.

Ce document est un outil pédagogique parfait pour les élèves souhaitant s'auto-évaluer et pour les enseignants à la recherche de supports de cours. Les thèmes abordés sont fondamentaux et leur maîtrise est essentielle pour la suite du programme de mathématiques au lycée.

Automatismes : calcul numérique

Cette première partie évalue les compétences de base en calcul, indispensables pour aborder des problèmes plus complexes. La rapidité et la précision sont de mise.

• Question 1 : Calculer et simplifier la somme de fractions \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \). Il faut ici trouver un dénominateur commun (12), puis additionner les numérateurs avant de rendre la fraction irréductible.
• Question 2 : Effectuer la division de fractions \( \frac{2}{5} \div \frac{3}{10} \). La méthode consiste à multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde, soit \( \frac{2}{5} \times \frac{10}{3} \).
• Question 3 : Manipuler les puissances de 10 avec le calcul \( 10^3 \times 10^{-5} \). On utilise la règle \( a^m \times a^n = a^{m+n} \).
• Question 4 : Appliquer la règle des puissances sur \( (2^3)^2 \). La formule à utiliser est \( (a^m)^n = a^{m \times n} \).
• Question 5 : Résoudre une équation du second degré simple, \( x^2 = 49 \). Attention à ne pas oublier la solution négative ! Les solutions sont \( x = 7 \) et \( x = -7 \).
• Question 6 : Convertir un nombre décimal en fraction irréductible. Pour 0,35, on l'écrit d'abord \( \frac{35}{100} \) puis on simplifie en divisant numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur.

Automatismes : évolutions et pourcentages

Cette section est au cœur du chapitre sur les évolutions. Elle teste la compréhension des notions de coefficient multiplicateur, de taux d'évolution global et réciproque.

• Question 7 : Déterminer le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 7%. La formule est \( CM = 1 + \frac{t}{100} \).
• Question 8 : Calculer le prix final après une remise de 15% sur un article à 80 €. On peut calculer le montant de la remise ou directement appliquer le coefficient multiplicateur de baisse.
• Question 9 : Calculer un taux d'évolution en pourcentage, passant d'une valeur initiale de 250 à une valeur finale de 300. La formule du taux d'évolution est \( t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \).
• Question 10 : Calculer le taux d'évolution global après deux évolutions successives (+50% puis -50%). Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs correspondants : \( CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \).
• Question 11 : Trouver le taux d'évolution réciproque pour une augmentation initiale de 25%. Si \( CM \) est le coefficient multiplicateur de l'évolution initiale, le coefficient réciproque est \( CM' = \frac{1}{CM} \).
• Question 12 : Retrouver une valeur initiale après une baisse. Si un jeu coûte 48 € après une baisse de 20%, on a \( V_{initial} \times (1 - \frac{20}{100}) = 48 \). Il suffit de résoudre cette équation.

Automatismes : calcul littéral et équations

Un bon rappel sur les manipulations algébriques de base : développement, factorisation et résolution d'équations produit-nul.

• Question 13 : Développer et réduire l'expression \( (x + 3)(x - 5) \) en utilisant la double distributivité.
• Question 14 : Factoriser l'expression \( 4x^2 - 6x \). Il s'agit d'identifier le facteur commun, ici \( 2x \).
• Question 15 : Résoudre une équation produit-nul, \( (3x - 6)(x + 2) = 0 \). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On résout donc \( 3x - 6 = 0 \) et \( x + 2 = 0 \).
• Question 16 : Développer et réduire \( (x - 4)^2 \) en utilisant l'identité remarquable \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Automatismes : proportions

La dernière partie se concentre sur l'application directe des pourcentages et des proportions dans des contextes simples.

• Question 17 : Calculer une proportion d'une quantité donnée : 30% de 240.
• Question 18 : Calculer une proportion en pourcentage. Sur 32 élèves, 8 sont internes. Il faut calculer le ratio \( \frac{8}{32} \) et le convertir en pourcentage.
• Question 19 : Calculer un pourcentage de pourcentage. Si 60% des habitants ont moins de 40 ans, et parmi eux 25% sont étudiants, le pourcentage total d'étudiants de moins de 40 ans est \( 25\% \times 60\% \).
• Question 20 : Convertir une fraction en pourcentage. Pour écrire \( \frac{3}{8} \) en pourcentage, on effectue la division \( 3 \div 8 \) et on multiplie le résultat par 100.

Ce contrôle corrigé est un excellent entraînement pour le bac de Première. Maîtriser ces automatismes est la clé de la réussite dans les chapitres plus avancés.