Contrôle de Mathématiques sur la Fonction Inverse pour Terminale Technologique

Ce sujet de mathématiques, conçu pour les élèves de Terminale de la voie technologique (STI2D, STL, ST2S...), porte sur le chapitre de la fonction inverse et ses applications. D'une durée d'une heure et trente minutes, cette évaluation, sans calculatrice autorisée, a pour objectif de vérifier la maîtrise des compétences clés liées à l'étude de fonctions, notamment la dérivation, l'établissement de tableaux de variations, la résolution d'inéquations et la modélisation de situations concrètes. C'est un excellent support pour s'entraîner en vue du baccalauréat.

Exercice 1 : Inverses et dérivées express (Réponses courtes)

Cet exercice est un questionnaire à réponses rapides visant à évaluer des savoir-faire fondamentaux. Il est composé de six questions indépendantes :

• Dérivation d'un polynôme : Il s'agit de calculer la dérivée de la fonction \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 1\). Une application directe des formules de dérivation des fonctions puissance.
• Manipulation de formule : À partir de l'expression de l'Indice de Masse Corporelle \(I = \frac{m}{t^2}\), il faut isoler et exprimer la masse \(m\) en fonction de \(I\) et \(t\).
• Inéquation du second degré : La tâche consiste à résoudre l'inéquation \(3(x+4)(x-2) \le 0\). Cela requiert la construction d'un tableau de signe pour un polynôme déjà factorisé.
• Calcul de l'inverse : Une question de calcul direct demandant la valeur de \(\frac{1}{x}\) pour \(x = 2 \times 10^{-4}\), mobilisant la maîtrise des puissances de dix.
• Dérivation avec la fonction inverse : Il faut déterminer la fonction dérivée de \(g(x) = 5x - \frac{3}{x}\), ce qui implique de connaître la dérivée de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\).
• Encadrement et sens de variation : Sachant que \(2 \le x \le 5\), l'objectif est de trouver le meilleur encadrement possible pour \(\frac{1}{x}\), en utilisant la propriété de décroissance de la fonction inverse sur l'intervalle \(]0; +\infty[\).

Exercice 2 : Décroissance, taux et courbe (Vrai ou faux)

Cet exercice évalue la compréhension conceptuelle du chapitre à travers quatre affirmations qu'il faut valider ou infirmer en apportant une justification rigoureuse (calcul, propriété du cours ou contre-exemple).

• Affirmation 1 : Elle porte sur le sens de variation de la fonction inverse sur son ensemble de définition \(\mathbb{R}^*\). Il est crucial de se souvenir que la fonction est décroissante sur chacun des intervalles \(]-\infty; 0[\) et \(]0; +\infty[\), mais pas sur leur réunion.
• Affirmation 2 : Elle propose une expression pour le taux de variation de la fonction inverse entre les points d'abscisse 1 et \(1+h\). Un retour à la définition du taux d'accroissement, \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\), est nécessaire pour vérifier la formule.
• Affirmation 3 : Cette question aborde la notion d'asymptote horizontale. Elle s'intéresse au comportement de la courbe de la fonction \(x \mapsto 2 + \frac{1}{x}\) par rapport à la droite d'équation \(y=2\) lorsque \(x\) tend vers l'infini.
• Affirmation 4 : Il faut déterminer si la fonction \(k(x) = 3x + \frac{12}{x}\) est décroissante sur l'intervalle \(]0; 3]\). Pour cela, une étude complète du signe de sa dérivée \(k'(x)\) est indispensable.

Exercice 3 : Une étude de fonction sans calculatrice

Cet exercice est une étude de fonction classique et complète, un incontournable des sujets de bac. On étudie la fonction \(f(x) = x^2 - 2x + \frac{8}{x}\) sur un intervalle fermé \([rac{1}{2}; 4]\).

1. Calcul de dérivée et vérification : La première étape consiste à calculer l'expression de la dérivée \(f'(x)\), puis à vérifier par le calcul qu'elle peut s'écrire sous la forme factorisée \(f'(x) = \frac{2(x-2)(x^2+x+2)}{x^2}\).
2. Tableau de variations : À partir de la forme factorisée de la dérivée, il faut étudier son signe. Cela implique de justifier le signe constant du trinôme \(x^2+x+2\) (en utilisant le discriminant \(\Delta\)). Le signe de \(f'(x)\) permet alors de déduire les variations de \(f\) et de dresser son tableau de variations complet sur l'intervalle donné, en y incluant les valeurs aux bornes et l'extremum.

Exercice 4 : Deux auberges pour un repas de séminaire

Ce dernier exercice est un problème de modélisation. Il met en application les outils de l'analyse de fonction dans un contexte économique pour aider une entreprise à faire un choix.

Le problème compare deux formules de prix pour un repas de \(n\) convives, menant à l'étude des fonctions de coût par personne \(p_L(n) = 25 + \frac{1200}{n}\) et \(p_C(n) = 32 + \frac{500}{n}\). Les questions s'enchaînent logiquement :

• Mise en place des fonctions modèles.
• Étude des variations de l'une des fonctions et interprétation concrète du résultat (plus il y a de convives, plus le prix par personne baisse).
• Analyse du comportement à l'infini (limite) et interprétation.
• Résolution d'inéquation pour comparer les deux offres et déterminer à partir de combien de convives une auberge devient plus avantageuse que l'autre (\(p_L(n) \le p_C(n)\)).
• Lecture graphique : Association des courbes représentatives aux fonctions et confirmation graphique du résultat de l'inéquation.
• Résolution de nouvelles inéquations pour déterminer le nombre de convives minimal nécessaire pour respecter un budget donné.