Ce sujet de contrôle pour les élèves de Terminale STI2D est entièrement dédié au chapitre sur l'intégration. Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et valider ses connaissances sur le calcul de primitives, le calcul d'intégrales, l'application au calcul d'aires et à la détermination de la valeur moyenne d'une fonction. Ce contrôle corrigé aborde ces notions à travers des exercices variés et concrets : une question ouverte sur la valeur efficace d'une tension, la vidange d'un bassin d'orage et un problème de freinage récupératif qui fait intervenir l'aire entre deux courbes. C'est un support idéal pour les révisions du baccalauréat STI2D.

Exercice 1 : La valeur efficace d'une tension en dents de scie (5 points)

Cet exercice est une question ouverte, sans sous-question, qui évalue la compréhension profonde de la notion de valeur moyenne d'une fonction et son application en physique. Un générateur délivre une tension périodique « en dents de scie » de période 1 ms, qui vaut \(u(t) = 10t\) sur \([0 ; 1[\). Sa valeur efficace \(U\), celle qu'affiche un voltmètre « RMS », est le nombre positif dont le carré est la valeur moyenne de \(u^2\) sur une période. Un technicien affirme que, la valeur moyenne de la tension valant 5 V, le voltmètre affichera 5 V.

Pour répondre, la démarche est la suivante :

• Calculer la valeur moyenne de la tension : sur une période, \( \frac{1}{1-0}\int_{0}^{1} 10t \, dt = \left[ 5t^2 \right]_{0}^{1} = 5 \) V. Sur ce point, le technicien a raison.
• Calculer la valeur moyenne de \(u^2\) : une primitive de \(100t^2\) est \(\frac{100}{3}t^3\), d'où \( U^2 = \int_{0}^{1} 100t^2 \, dt = \frac{100}{3} \).
• En déduire la valeur efficace : comme \(U\) est positif, \( U = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77 \) V.
• Conclure : le voltmètre affichera environ 5,77 V et non 5 V. Le technicien confond la valeur moyenne de \(u\) avec la valeur efficace ; élever au carré donne plus de poids aux grandes valeurs de la tension, si bien que la valeur efficace dépasse la valeur moyenne.

Exercice 2 : La vidange d'un bassin d'orage (7 points)

Ce problème applique l'intégration à un débit. Un bassin de rétention contenant 130 m³ d'eau est vidé par une vanne de fond, et le débit d'évacuation, en m³ par minute, est modélisé sur \([0 ; 30]\) par \(d(t) = 12e^{-0{,}1t}\). Le volume évacué entre deux instants est l'intégrale du débit.

• Question 1 : On calcule \(d(0) = 12\) et \(d(30) = 12e^{-3} \approx 0{,}60\) m³/min, puis on justifie par le signe de la dérivée \(d'(t) = -1{,}2e^{-0{,}1t}\) que le débit diminue au cours de la vidange.
• Question 2 : Il faut déterminer une primitive de la fonction exponentielle \(d\) : on obtient \(D(t) = -120e^{-0{,}1t}\).
• Question 3 : Le volume évacué en 30 minutes vaut \( \int_{0}^{30} d(t) \, dt = 120 - 120e^{-3} \approx 114 \) m³ ; il reste donc environ 16 m³ dans le bassin.
• Question 4 : Le débit moyen d'évacuation est la valeur moyenne de \(d\) sur \([0 ; 30]\) : \(4 - 4e^{-3} \approx 3{,}80\) m³/min.
• Question 5 : On montre que le volume évacué pendant les \(T\) premières minutes est \(V(T) = 120\left(1 - e^{-0{,}1T}\right)\), puis on résout \(V(T) = 65\) à l'aide du logarithme népérien : \(T = 10\ln\left(\frac{24}{11}\right) \approx 7{,}8\) minutes. La moitié de l'eau part en un quart du temps, puisque le débit est le plus fort au début.

Exercice 3 : Le freinage récupératif d'un tramway (8 points)

Ce problème concret est un excellent exemple d'application de l'intégration à une situation réelle. Lors d'un freinage de 10 secondes, les moteurs d'un tramway fonctionnent en génératrices : la puissance de freinage est modélisée par \(P_f(t) = 600 - 50t\) et la puissance récupérée par \(P_r(t) = 480e^{-0{,}2t}\), en kilowatts. L'énergie mise en jeu est l'intégrale de la puissance.

L'exercice guide l'élève à travers plusieurs étapes :

• Énergie de freinage : \(P_f\) étant affine et positive, son intégrale sur \([0 ; 10]\) se calcule comme l'aire d'un trapèze de bases 600 et 100 et de hauteur 10 : \(E_f = 3\,500\) kJ.
• Énergie récupérée : une primitive de \(P_r\) est \(t \mapsto -2\,400e^{-0{,}2t}\), d'où \(E_r = 2\,400 - 2\,400e^{-2} \approx 2\,075\) kJ, soit environ 0,576 kWh.
• Énergie dissipée : par linéarité, \(E_f - E_r = \int_{0}^{10} (P_f(t) - P_r(t)) \, dt\). Comme \(P_r \leqslant P_f\), c'est l'aire du domaine compris entre les deux courbes, soit environ 1 425 kJ.
• Taux de récupération : le rapport \(\frac{E_r}{E_f} \approx 0{,}593\), soit 59 %, confirme l'annonce du constructeur selon laquelle au moins la moitié de l'énergie de freinage est récupérée.
• Puissance moyenne récupérée : l'exercice se termine par le calcul de la valeur moyenne de \(P_r\) sur \([0 ; 10]\), \(240 - 240e^{-2} \approx 208\) kW, application directe de la formule du cours.

Ce contrôle de maths est un excellent outil pour les révisions du bac STI2D. Il couvre les compétences essentielles du chapitre sur l'intégration, des calculs de base à la résolution de problèmes complexes.