Analyse du sujet de mathématiques - Première STI2D

Ce devoir commun pour les élèves de Première STI2D est une évaluation complète portant sur plusieurs chapitres clés du programme de mathématiques : les automatismes, les statistiques descriptives à deux variables, les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires. Le sujet est structuré en une première partie d'automatismes à réponses courtes et une seconde partie de trois exercices d'application, pour 20 points de mathématiques. La calculatrice est interdite, ce qui met l'accent sur les compétences de calcul mental et la maîtrise des formules fondamentales. Ce contrôle, qui porte sur le tronc commun de mathématiques, convient à toutes les séries technologiques : STI2D, STL, STMG, ST2S, STHR, STD2A et S2TMD.

Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque question, en explicitant les raisonnements et les calculs nécessaires. C'est un excellent support pour réviser et consolider vos connaissances. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, Probabilités, Statistiques à deux variables, Nuage de points, Variables aléatoires.

Première partie : Automatismes (réponses courtes)

Au format de l'épreuve anticipée de mathématiques (session 2028), cette première partie comporte 12 questions à réponse courte, notées 0,5 point chacune (6 points), sans calculatrice et sans justification : on écrit seulement le résultat.

• Question 1 : Fréquence de 60 abonnés sur 250 personnes : 24 %.
• Question 2 : Coefficient multiplicateur associé à une baisse de 40 % : 0,6.
• Question 3 : Deux hausses successives de 10 % : hausse globale de 21 %.
• Question 4 : Prix avant une hausse de 20 %, sachant qu'il vaut 60 € après : 50 €.
• Question 5 : Inéquation \(-2x+6>0\) : \(S=\,]-\infty\,;\,3[\).
• Question 6 : Coefficient directeur de la droite passant par \((10\,;\,7)\) et \((30\,;\,15)\) : 0,4.
• Question 7 : Moyenne pondérée de 10 notes de 12 et 15 notes de 8 : 9,6.
• Question 8 : Probabilité de tirer un jeton rouge (6 rouges sur 40) : 0,15.
• Question 9 : Traduire « 40 % des internes font du sport » : \(P_I(S)=0{,}4\) (probabilité conditionnelle).
• Question 10 : Avec \(P(A)=0{,}3\) et \(P_A(B)=0{,}2\) : \(P(A\cap B)=0{,}06\).
• Question 11 : Espérance d'une variable prenant les valeurs 0 et 10 avec les probabilités 0,8 et 0,2 : \(E(X)=2\).
• Question 12 : Avec \(E(aY+b)=aE(Y)+b\) admis et \(E(Y)=4\) : \(E(3Y+2)=14\).

Partie B : Exercice 1 – La fréquentation des lignes de bus

Cet exercice de statistiques à deux variables porte sur six lignes d'un réseau de bus : pour chacune, on connaît le nombre \(x\) de passages de bus par jour (de 20 à 70) et le nombre moyen \(y\) de voyageurs par jour, en centaines (de 9 à 27).

• Question 1 : On représente le nuage de points \((x\,;\,y)\) dans le repère fourni.
• Question 2 : Le point moyen \(G\) a pour coordonnées les moyennes des \(x\) et des \(y\) : \(\bar{x} = \frac{270}{6} = 45\) et \(\bar{y} = \frac{108}{6} = 18\), soit \(G(45\,;\,18)\).
• Question 3 : On ajuste le nuage par la droite \(D\) d'équation \(y = 0{,}4x\). Comme \(0{,}4 \times 45 = 18\), le point moyen \(G\) appartient bien à \(D\).
• Question 4 : Interpolation : pour une nouvelle ligne desservie par 35 bus par jour, on prévoit \(y = 0{,}4 \times 35 = 14\), soit 1 400 voyageurs par jour.
• Question 5 : Extrapolation : pour 4 000 voyageurs, soit \(y = 40\), il faudrait \(x = \frac{40}{0{,}4} = 100\) passages par jour. Cette valeur est très éloignée des données observées (de 20 à 70 passages), donc la prévision est peu fiable.

Partie B : Exercice 2 – Le même réseau, en probabilités

Cet exercice porte sur le même réseau : une enquête auprès de 400 usagers, dont l'âge et la possession d'un abonnement sont donnés dans un tableau d'effectifs de l'énoncé, est analysée avec le langage des probabilités conditionnelles.

• Question 1 : On passe des effectifs aux probabilités. Avec les événements \(J\) : "l'usager a moins de 25 ans" et \(A\) : "l'usager est abonné", on calcule \(P(J) = \frac{160}{400} = 0{,}4\), \(P(A) = \frac{240}{400} = 0{,}6\) et \(P(J \cap A) = \frac{120}{400} = 0{,}3\).
• Question 2 : Le calcul de \(P(\overline{J} \cap \overline{A}) = \frac{120}{400} = 0{,}3\) et son interprétation : 30% des usagers ont 25 ans ou plus et ne sont pas abonnés.
• Question 3 : Le calcul de probabilités conditionnelles \(P_J(A) = \frac{P(J \cap A)}{P(J)} = \frac{0{,}3}{0{,}4} = 0{,}75\) et \(P_{\overline{A}}(J) = \frac{P(J \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25\).
• Question 4 : On compare \(P_J(A) = 0{,}75\) avec \(P(A) = 0{,}6\). Comme les probabilités sont différentes, les événements \(J\) et \(A\) ne sont pas indépendants. Le fait d'avoir moins de 25 ans est bien lié à la possession d'un abonnement.

Partie B : Exercice 3 – Livraisons

Le dernier exercice aborde les variables aléatoires dans le contexte de trois épreuves indépendantes répétées, traitées à l'aide d'un arbre.

• Question 1 : La situation est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques (chaque colis arrive à l'heure ou non). On peut la représenter avec un arbre de probabilités à 3 niveaux.
• Question 2 & 3 : On définit \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de colis arrivés à l'heure. À l'aide de l'arbre, on calcule \(P(X=3) = 0{,}9^3\), \(P(X=0) = 0{,}1^3\) et \(P(X=2) = 3 \times 0{,}9^2 \times 0{,}1\) (trois chemins), puis on en déduit \(P(X=1)\) car la somme des probabilités vaut 1.
• Question 4 : On dresse le tableau de la loi de probabilité de \(X\) et on calcule son espérance à partir du tableau : \(E(X) = 2{,}7\). Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de commandes de 3 colis, 2,7 colis arriveront à l'heure.
• Question 5 : On introduit une nouvelle variable aléatoire \(G = 7X - 15\) représentant le gain du livreur. Pour calculer son espérance, on utilise la propriété admise à la question 12 de la première partie : \(E(G) = E(7X-15) = 7E(X) - 15 = 7 \times 2{,}7 - 15 = 18{,}9 - 15 = 3{,}9\). En moyenne, le livreur peut espérer gagner 3,90 € par commande de trois colis.