Contrôle Corrigé de Maths sur les Variables Aléatoires - Première STI2D

Ce sujet de contrôle pour la classe de Première STI2D est entièrement dédié au chapitre sur les variables aléatoires. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il vise à évaluer la maîtrise des concepts fondamentaux à travers quatre exercices variés. Les élèves seront testés sur leur capacité à définir une loi de probabilité, à calculer et interpréter une espérance mathématique, et à reconnaître et utiliser les lois de Bernoulli et binomiale dans des contextes concrets.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples conçu pour évaluer rapidement les connaissances fondamentales sur les variables aléatoires discrètes. Sans calculatrice, il met l'accent sur la compréhension des définitions et des formules de base.

• Questions 1 et 2 : Calcul de probabilités. À partir du tableau de la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(X\), il est demandé de calculer des probabilités cumulées. Pour la question 1, \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). Pour la question 2, il s'agit de calculer \(P(X > 2)\), ce qui correspond ici à \(P(X=5)\). Ces questions testent la capacité à lire un tableau de loi de probabilité et à appliquer les axiomes des probabilités.
• Question 3 : Calcul de l'espérance. Cette question demande de calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) de la variable aléatoire définie précédemment. Le calcul se base sur la formule \(E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)\). C'est une compétence centrale du chapitre.
• Question 4 : Loi de Bernoulli. La question porte sur l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p=0,3\). Il s'agit d'une question de cours, l'espérance étant simplement égale au paramètre \(p\).
• Question 5 : Loi Binomiale. Ici, on aborde la loi binomiale. On répète 4 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=1/2\). On demande de calculer la probabilité d'obtenir 4 succès, soit \(P(Y=4)\). Cela nécessite l'application de la formule de la loi binomiale : \(P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).

Exercice 2 : Course de drones

Cet exercice est une mise en situation concrète qui se modélise par une loi binomiale. Un drone doit franchir 3 portes, chaque franchissement étant une épreuve de Bernoulli indépendante.

• Question 1 : Définition de la variable aléatoire. Il faut identifier l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire \(X\) (le nombre de portes franchies), ici \(\{0, 1, 2, 3\}\), et traduire en langage courant un événement comme \(\{X \le 1\}\) (le pilote a franchi au plus une porte).
• Question 2 : Utilisation d'un arbre pondéré. Cette question guide l'élève pour retrouver des probabilités spécifiques, \(P(X=3)\) et \(P(X=2)\), à l'aide d'un arbre. C'est une méthode visuelle et fondamentale pour comprendre les situations de répétitions d'expériences.
• Question 3 : Détermination de la loi de probabilité. L'objectif est de calculer toutes les probabilités \(P(X=k)\) pour \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\) et de les présenter dans un tableau, constituant ainsi la loi de probabilité de \(X\).
• Question 4 : Calcul de probabilité. On demande de calculer \(P(X \le 1)\), ce qui réinvestit les compétences de l'exercice 1.
• Question 5 : Calcul et interprétation de l'espérance. Il s'agit de calculer \(E(X)\) pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) avec la formule \(E(X) = n \times p\), et surtout d'interpréter le résultat : "en moyenne, sur un grand nombre de courses, le pilote franchit \(E(X)\) portes".
• Question 6 : Transformation affine d'une variable aléatoire. On introduit une nouvelle variable \(G = 3X - 5\) modélisant le gain. La question porte sur le calcul de l'espérance de \(G\) en utilisant la propriété de linéarité de l'espérance : \(E(aX+b) = aE(X)+b\). La conclusion demande de juger de la rentabilité du jeu, liant l'espérance à la prise de décision.

Exercice 3 : Trottinettes en libre-service

Cet exercice aborde la notion d'échantillonnage et de fluctuation, en partant d'une situation modélisée par une loi de Bernoulli.

• Question 1 : Loi de Bernoulli. La première question consiste à identifier qu'une variable qui vaut 1 en cas de "succès" (batterie faible) et 0 sinon suit une loi de Bernoulli. Il faut donner son paramètre \(p\) (la probabilité du succès) et son espérance.
• Question 2 : Analyse d'une simulation d'échantillonnage. Cette partie est plus complexe et fait appel à l'analyse de données. On présente un histogramme des fréquences observées sur 500 échantillons. Il faut lire des informations sur le graphique, calculer un intervalle de fluctuation et vérifier le pourcentage d'échantillons se trouvant dans cet intervalle.
• Question 3 : Prise de décision. En confrontant une observation réelle à la distribution d'échantillonnage simulée, l'élève doit déterminer si cette observation est "normale" ou "rare". Cela constitue une introduction intuitive aux tests d'hypothèses.

Exercice 4 : Assurance d'un smartphone

Ce dernier exercice est une application classique des variables aléatoires au domaine de l'assurance, permettant de calculer des coûts moyens et des bénéfices espérés.

• Question 1 : Donner la loi de probabilité. Il faut ici construire le tableau de la loi de probabilité de la variable \(X\) représentant le coût pour l'assureur. Cela implique d'identifier les valeurs possibles de \(X\) (0€, 250€, 600€) et de leur associer les probabilités correspondantes.
• Question 2 : Calculer et interpréter l'espérance. Comme dans les autres exercices, le calcul de \(E(X)\) est central. L'interprétation est cruciale : \(E(X)\) représente le coût moyen que l'assureur peut anticiper par contrat sur le long terme.
• Question 3 : Espérance et loi des grands nombres. En passant à 1000 contrats, on demande d'estimer le bénéfice espéré. La question finale invite à réfléchir sur la différence entre une espérance (une moyenne théorique) et un résultat réel, qui reste soumis à l'aléa.

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