Introduction
Accrochez-vous, nous allons aborder l'exercice le plus difficile que vous pouvez rencontrer dans le programme de l'ISS en mathématiques. Il s'agit de l'exercice qui consiste à démontrer une limite infinie en utilisant la définition, et notamment en utilisant le fameux \(a\). Cet exercice est généralement celui qui tombe en début de contrôle en première, première question du contrôle, ou en dernier acte en dernière position.
Énoncé de l'exercice
On va vous demander de trouver la limite de cette suite \(4n^2\) et on va vous demander de la démontrer. Si je vous demande juste de donner des limites de \(4n^2\), on fait ça comme ça : \(4n^2\) tend bien vers plus infinie et c'est réglé. Sauf que cette fois-ci, on vous demande de le montrer en utilisant la définition.
Définition de la limite infinie d'une suite
Revenons à la définition de ce qu'est une suite qui tend vers l'infini. Si une suite tend vers plus infinie, vous êtes d'accord avec moi qu'à un moment, elle va être plus grande que 100, elle va même être plus grande que 1000, elle va même être plus grande que 1 million. En fait, elle va être plus grande que n'importe quoi à quel moment.
Si je suis plus grand que \(n_0\), autrement dit, si je me positionne là, je suis plus grand que \(a\). Si je me positionne plus grand que ce \(n_0\), je suis plus grand que 1000. Si je suis plus grand que ce \(n_0\), je suis plus grand qu'un million et ainsi de suite.
Si cette suite tend vraiment vers l'infini, quelle que soit la valeur que je mets ici, c'est à dire que je me positionne sur cet axe, il existe un moment, un rang \(n_0\), tels que si je me mets plus grand que ce rang, \(u_n\) est plus grand que \(a\).
Démonstration de la limite infinie
Donc ce qu'il reste à montrer, c'est qu'il existe \(a\) tel que pour tous \(n\), il existe un rang à partir duquel si je suis plus grand que ce rang, \(u_n\) est plus grand que \(a\).
Soit \(a\) appartenant à \(R\), donc \(a\) peut être n'importe quel nombre. Montrer qu'il existe un rang à partir duquel \(u_n\) est plus grand que \(a\), c'est à dire \(4n^2 > a\), cela revient à montrer que \(n^2 > \frac{a}{4}\) et donc que \(n > \sqrt{\frac{|a|}{2}}\).
Donc ce qu'on vient de montrer, c'est que quand \(a\) vaut 1000, il suffit de prendre \(\sqrt{\frac{1000}{2}}\) pour que \(u_n\) soit plus grande que 1000. Si je prends \(a = 1\) million, il suffit de prendre \(\sqrt{\frac{1,000,000}{2}}\) pour que toutes les valeurs de \(n\) plus grandes que \(\sqrt{\frac{1,000,000}{2}}\) donnent un \(u_n\) plus grand que 1 million.
Donc en fait, pour tout \(a\) appartenant à \(R\), il existe un \(n_0\) qui vaut \(\sqrt{\frac{|a|}{2}}\) tel que dès que je suis plus grand que \(\sqrt{\frac{|a|}{2}}\), \(u_n\) est plus grand que \(a\).
Conclusion
Donc la limite de \(u_n\) est plus infinie, je viens de le démontrer. Moralité, pour démontrer une limite de suite en plus l'infini avec la définition, vous dites "soit \(a\) appartenant à \(R\)", vous montrez que pour n'importe quel nombre, on peut devenir plus grand que lui.
Une petite subtilité, quand on dit "il existe un \(n_0\) qui vaut \(\sqrt{\frac{|a|}{2}}\)", en réalité c'est un \(n_0\) supérieur ou égal à \(\sqrt{\frac{|a|}{2}}\)", car \(n\) est un entier et \(\sqrt{\frac{|a|}{2}}\) n'est pas forcément un entier. Donc on va dire que \(n_0\) est égal à la partie entière de \(\sqrt{\frac{|a|}{2}}\).