Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale spécialité est un contrôle court de 30 minutes portant exclusivement sur le chapitre de la fonction logarithme népérien. Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et évaluer sa maîtrise des concepts fondamentaux. Ce document propose une analyse détaillée qui vous guidera pas à pas dans la résolution des trois exercices. Les thèmes abordés sont la résolution d'équations, la manipulation des propriétés algébriques du logarithme et l'étude complète d'une fonction. Ce contrôle corrigé est idéal pour les révisions du baccalauréat.

Exercice 1 : Équation avec logarithmes

Cet exercice est un grand classique sur les équations faisant intervenir la fonction logarithme. On vous demande de résoudre l'équation \((E) : \ln(4x - 1) = \ln(x + 3)\).

• 1) Ensemble de définition : La première étape, cruciale, est de déterminer le domaine de validité de l'équation. La fonction logarithme \(\ln(U)\) n'est définie que si son argument \(U\) est strictement positif. Il faut donc résoudre simultanément les deux inéquations suivantes :
  • \(4x - 1 > 0 \)
  • \(x + 3 > 0 \)
  La solution est l'intersection des deux intervalles trouvés. C'est une compétence fondamentale pour ne pas trouver de solutions erronées.
• 2) Résolution de l'équation : Une fois le domaine de définition établi, la résolution de l'équation \((E)\) devient plus simple. On utilise la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien qui stipule que pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, \(\ln(a) = \ln(b) \iff a = b\). L'équation se ramène alors à une simple équation du premier degré. Il est impératif de vérifier à la fin que la solution trouvée appartient bien à l'ensemble de définition déterminé dans la première question.

Exercice 2 : Propriétés algébriques du logarithme

Le deuxième exercice vise à évaluer votre capacité à manipuler les différentes propriétés de la fonction logarithme pour simplifier une expression. L'objectif est de réécrire le nombre \(A = \ln(20) - 6\ln(\sqrt{e}) + 4\ln(\frac{1}{2})\) en fonction de \(\ln(2)\) et \(\ln(5)\). Pour y parvenir, il faut mobiliser plusieurs relations fonctionnelles :

• La relation \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\), pour décomposer \(\ln(20) = \ln(4 \times 5)\).
• La relation \(\ln(a^n) = n\ln(a)\), pour transformer \(\ln(4) = \ln(2^2)\) et simplifier les autres termes.
• La relation \(\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)\), pour le terme \(\ln(\frac{1}{2})\).
• Les propriétés spécifiques \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)\) et la valeur de base \(\ln(e) = 1\).

Cet exercice est un excellent test de votre agilité avec le calcul algébrique impliquant les logarithmes.

Exercice 3 : Étude de fonction complète

Ce dernier exercice, noté sur 8 points, est le plus complet. Il s'agit de mener une étude de variations complète de la fonction \(f\) définie sur \(]0; +\infty[\) par \(f(x) = x - 4\ln(x)\) et de dresser son tableau de variations.

L'étude se déroule en plusieurs étapes méthodiques :

1. Dérivation : Il faut commencer par calculer la fonction dérivée \(f'(x)\). Cela nécessite de connaître les formules de dérivation des fonctions usuelles, en particulier \((x)' = 1\) et \((\ln(x))' = \frac{1}{x}\).
2. Étude du signe de la dérivée : Une fois l'expression de \(f'(x)\) obtenue, il faut étudier son signe pour déterminer les intervalles où la fonction \(f\) est croissante ou décroissante. Cela revient à résoudre une inéquation.
3. Calcul des limites aux bornes : Le domaine de définition est \(]0; +\infty[\). Il faut donc calculer deux limites :
   • La limite en \(0^+\). C'est une limite usuelle.
   • La limite en \(+\infty\). Cette limite présente une forme indéterminée du type \(+\infty - \infty\). Pour la lever, il est nécessaire d'utiliser les théorèmes de croissance comparée, en factorisant par le terme dominant pour faire apparaître la limite usuelle \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\).
4. Tableau de variations : Enfin, on synthétise toutes les informations (signe de la dérivée, sens de variation de la fonction, limites et valeurs des éventuels extremums) dans un tableau de variations complet.

Cet exercice est un excellent résumé du chapitre, car il combine dérivation, résolution d'inéquation, calcul de limites et construction d'un tableau de variations, des compétences essentielles pour le bac.