7. Les limites usuelles avec logarithme

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir un premier exercice très simple de limite avec la fonction logarithme. On se fait ça tout de suite.

Limites de base avec les fonctions logarithmes

Les limites de base que vous avez besoin de connaître avec les fonctions logarithmes sont au nombre de deux et vous pouvez toutes les connaître juste en vous souvenant pour la 17e fois de l'allure de \( \ln(x) \). \( \ln(x) \) quand on se rapproche de zéro, elle tend vers moins l'infini. Vous voyez que quand je me rapproche de zéro, si je vais faire ça de Courbat et je me déplace horizontalement vers la gauche, forcément je vais descendre donc la limite en 0 c'est plus l'infini et la limite quand je vais très loin vers la droite en suivant la courbe c'est plus l'infini. Attention, on pourrait penser qu'elle se stabilise, c'est à dire qu'à un moment elle va arrêter de croître et qu'elle va être un peu horizontale, mais ce n'est pas le cas. Elle croît jusqu'à plus l'infini, c'est juste qu'elle va croître de plus en plus doucement. Comment je le sais d'ailleurs ? Parce que ça dérive, on va le voir, c'est \( \frac{1}{x} \) et \( \frac{1}{x} \) tend vers 0, autrement dit la pente, cette pente là, tend vers 0. Donc on va voir une pente de plus en plus faible et pourtant la fonction va quand même tendre vers plus l'infini.

Exercices de limites avec la fonction logarithme

Une fois que vous connaissez ces deux limites, c'est très simple. On a une, deux, trois entités, donc on va régler la limite en trois coups et en faisant par somme, comme on a pris à le faire en première. Donc, la limite quand \( x \) tend vers l'infini de \( 3 \ln(x) \) est simple. Cela donne la limite de \( \ln(x) \) fois 3. Or \( \ln(x) \) en plus l'infini c'est plus l'infini, trois fois l'infini ça fait plus l'infini. On continue avec celle-là, la limite de \( -\ln(\frac{1}{x}) \). Ce que je vous propose, c'est qu'on va d'abord calculer la limite de \( \frac{1}{x} \), on va voir en quoi va se transformer \( \frac{1}{x} \) et ensuite on appliquera \( \ln \) aux résultats. Donc moi je commence par dire que la limite de \( \frac{1}{x} \) quand \( x \) tend vers l'infini, c'est combien de fois est-ce que je rentre un truc infiniment grand dans 1, combien de fois est-ce que je rentre une infinité de petits pois dans une boîte qui peut en contenir qu'un seul ? Zéro fois. Donc cette limite c'est 0. Maintenant je me dis, bon, la limite de \( \frac{1}{x} \) c'est 0, donc je sais que ce qui il y a à l'intérieur de \( \ln(\frac{1}{x}) \) ça tend vers 0. Maintenant faut que je me demande quelle est la limite de \( \ln \) de quelque chose quand ce quelque chose tend vers non pas plus l'infini mais vers 0, parce que ce qu'il y a là, le \( \frac{1}{x} \), il tend vers 0. Donc quand \( x \) tend vers 0 et ça, la limite de \( \ln(x) \) quand \( x \) tend vers 0, on l'a vu, c'est moins l'infini. Sauf que moi ce qui m'intéresse c'est pas \( \ln(x) \), c'est \( -\ln(x) \), donc je mets un moins là et du coup mon résultat ce sera un plus. Du coup je peux dire, en mettant mon petit accolade, que par composition, la limite de \( -\ln(\frac{1}{x}) \) quand \( x \) tend vers l'infini, c'est l'infini. Ok, j'ai fait le deuxième bout. Ça, rappelez-vous, cette rédaction là, avec les accolades, moi je l'aime bien, c'est la rédaction pour quand on a des composés. Le bout \( \ln(x^2 - x) \), on recommence la limite. Donc je mets un premier point ici, un deuxième point ici, un troisième point ici pour dire que la limite de ce qui a à l'intérieur, donc \( x^2 - x \) quand \( x \) tend vers l'infini, ça me fait plus l'infini moins l'infini, c'est une forme indéterminée. Du coup je fais la technique pour lever une forme indéterminée qu'on a vu là, avec un peu une home, c'est factoriser par le terme de plus haut degré. Donc ça, je vais dire que c'est comme \( x \) fois \( x \) fois \( \frac{1}{x} \). Pourquoi est-ce que je fais ça ? Parce que du coup \( x \) fois \( x \) ça me fait \( x^2 \) et je peux factoriser par \( x^2 \). Ça, ça me fait \( x^2 \) facteur de \( 1 - \frac{1}{x} \), donc \( x^2 \) facteur de \( 1 - \frac{1}{x} \). Et si vous avez un doute, allez voir la vidéo et on développe \( x^2 - \frac{x^2}{x} \), donc moins \( x^2 - x \), on retrouve bien ça. Et maintenant je refais mon calcul. Ça, ça tend vers zéro, ça, ça tend vers 1, ça tend vers plus l'infini, plus l'infini fois 1 et ça me fait tout simplement plus l'infini. Donc j'ai plus l'infini et je recommence comme tout à l'heure. Maintenant je vais faire la limite de \( \ln \) de quelque chose quand ce quelque chose tend vers plus l'infini. La limite de \( \ln(x) \) quand \( x \) tend vers plus l'infini, c'est, on l'a vu, plus l'infini. Du coup je peux en conclure ici, encore une fois par composition, que la limite de \( \ln(x^2 - x) \) quand \( x \) tend vers l'infini, c'est plus l'infini. Et maintenant vous savez que votre fonction c'est la somme de ça plus ça plus ça, donc que ça limite par somme. Donc tu peux les faire ici si tu veux. Conclusion par somme, c'est à dire que vous allez additionner les trois limites. La limite de ça, c'est plus l'infini, plus plus l'infini, plus plus l'infini. Donc la limite de, allez je le recopie mais j'ai pas la foi, c'est terminé. Entraînez-vous, on vous a mis en dessous, ça vous bosse des anciens réflexes de faire des compositions par produit et ainsi de suite et ainsi de suite. À vous de jouer, vous êtes des champions.