Ce sujet de maths de niveau Terminale, option Maths Complémentaires, est une évaluation complète d'une durée de 1h30 sur le chapitre du logarithme népérien. Conçu pour être réalisé sans calculatrice, ce contrôle met l'accent sur la compréhension profonde des concepts, la maîtrise des propriétés algébriques et l'aptitude à l'analyse graphique et à la modélisation. C'est un excellent support pour réviser et s'entraîner en conditions réelles.
Ce contrôle corrigé balaye un large spectre de compétences essentielles, allant de la résolution d'équations et inéquations à l'étude de fonctions et de suites, en passant par l'analyse graphique. Chaque exercice est conçu pour tester des savoir-faire spécifiques du programme.
Exercice 1 : Étude graphique des fonctions logarithme et exponentielle
Cet exercice est une analyse de fonction basée sur la lecture graphique. On y retrouve les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien \( \Gamma: x \mapsto \ln x \) et exponentielle \( \mathcal{C}: x \mapsto e^x \), ainsi que la première bissectrice \( \Delta: y=x \).
- Lecture et conjecture de limites : La première question invite à lire graphiquement la valeur de \( \ln(1) \) et à conjecturer les limites de la fonction \( \ln \) en \( 0^+ \) et en \( +\infty \). C'est l'occasion de se rappeler des asymptotes verticale et de la branche parabolique de la courbe.
- Symétrie et valeurs remarquables : L'exercice explore la relation de symétrie entre les courbes de \( \ln x \) et \( e^x \) par rapport à la droite \( y=x \). En utilisant les coordonnées du point \( B(1, e) \) sur la courbe de l'exponentielle, on en déduit par symétrie les coordonnées de \( B' \) et la valeur de \( \ln(e) \).
- Résolution graphique d'équations : Il est demandé de résoudre graphiquement les équations \( \ln x = -1 \) et \( e^x = 3 \), puis de donner les solutions exactes (\( x=e^{-1} \) et \( x=\ln 3 \)), faisant le lien entre l'approche visuelle et le calcul.
- Équation de tangente et position relative : La dernière partie de l'exercice consiste à déterminer par le calcul l'équation de la tangente \( T \) à la courbe \( \Gamma \) au point d'abscisse 1, qui est \( y = x-1 \). On conjecture ensuite la position de la courbe par rapport à sa tangente, ce qui amène à la célèbre inégalité de convexité \( \ln x \le x-1 \) pour tout \( x > 0 \).
Exercice 2 : Utilisation des propriétés algébriques du logarithme
Cet exercice est un pur exercice de calcul, visant à vérifier la maîtrise des relations fonctionnelles du logarithme népérien. À partir des valeurs approchées de \( \ln 2 \) et \( \ln 3 \), il faut compléter un tableau en transformant des expressions pour les calculer.
Les compétences testées sont :
- La relation \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \), par exemple pour calculer \( \ln 6 = \ln(2 \times 3) \).
- La relation \( \ln(a^n) = n \ln a \), par exemple pour \( \ln 8 = \ln(2^3) = 3 \ln 2 \).
- La relation \( \ln(a/b) = \ln a - \ln b \), par exemple pour \( \ln(1.5) = \ln(3/2) \).
- La relation \( \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a \), pour \( \ln(\sqrt{3}) \).
- La combinaison des propriétés, comme pour \( \ln(12e) = \ln(3 \times 4 \times e) = \ln 3 + 2 \ln 2 + 1 \).
Exercice 3 : Modélisation avec suites et fonctions
Ce problème concret sur l'élimination de la caféine dans l'organisme se divise en deux approches : un modèle discret (avec une suite) et un modèle continu (avec une fonction).
Partie A : Modèle discret
La quantité de caféine est modélisée par une suite géométrique \( (u_n) \) de premier terme \( u_0=200 \) et de raison \( q=1/2 \). Il faut d'abord exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \). Ensuite, le problème consiste à déterminer à partir de quel moment l'effet de la caféine n'est plus sensible, ce qui se traduit par la résolution de l'inéquation \( u_n \le 10 \). Cette résolution est guidée et fait intervenir la fonction logarithme pour "faire descendre" l'exposant \( n \), un grand classique des problèmes liant suites géométriques et logarithmes.
Partie B : Modèle continu
Ici, la modélisation utilise une fonction exponentielle de la forme \( Q(t) = 200 e^{-kt} \). La première étape est de déterminer la constante \( k \) en utilisant l'information que la quantité est divisée par deux en 5 heures, soit \( Q(5)=100 \). Cela mène à une équation avec exponentielle à résoudre. Puis, on résout l'inéquation \( Q(t) \le 25 \) pour déterminer à partir de quand la personne peut s'endormir, ce qui illustre la résolution d'inéquation avec exponentielle.
Exercice 4 : Questions de synthèse
Cet exercice regroupe plusieurs questions indépendantes pour vérifier des compétences de base sur le logarithme et l'exponentielle.
- Résolution d'équations : Une série d'équations de type \( e^x = a \) ou \( \ln x = b \) ou encore \( \ln(x^2)=\ln 9 \) à résoudre rigoureusement en précisant l'ensemble de définition.
- Simplification d'expressions : Utilisation des formules \( \ln(e^x) = x \) et \( e^{\ln x} = x \) pour simplifier des expressions comme \( A = \ln(e^5) - 2\ln(\sqrt{e}) \) et \( B = e^{\ln 3 + \ln 4} \).
- Calcul de limites : Détermination des limites usuelles de la fonction logarithme aux bornes de son ensemble de définition (\( 0^+ \) et \( +\infty \)), à travers des expressions simples comme \( 3 - 2 \ln x \).
En somme, ce sujet de maths est un excellent outil de préparation qui couvre de manière exhaustive les attendus du chapitre sur le logarithme népérien en Terminale Maths Complémentaires.