Contrôle Corrigé de Mathématiques sur les Lois à Densité en Terminale

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale en spécialité Maths Complémentaires est entièrement dédié au chapitre sur les lois de probabilité à densité. D'une durée d'une heure, il évalue la compréhension et l'application des lois uniforme et exponentielle, ainsi que la maîtrise des outils d'analyse tels que le calcul intégral et l'étude de fonctions. Ce document est un excellent support pour s'entraîner, avec des exercices allant des automatismes de cours à des problèmes de modélisation concrets. Retrouvez ici une analyse détaillée de chaque exercice de ce sujet de maths, pour une préparation optimale à vos évaluations.

Exercice 1 : Automatismes

Cet exercice est une série de questions rapides visant à vérifier la connaissance directe des formules et propriétés essentielles du cours sur les lois à densité. Aucune justification n'est demandée, ce qui en fait un test efficace des réflexes et de la mémorisation des définitions clés.

• Loi uniforme : La première partie teste la loi uniforme. On demande de calculer une probabilité \(P(X \le 1)\) pour une variable \(X\) suivant la loi uniforme sur \([0; 4]\), de donner la valeur de la fonction de densité sur un intervalle \([2; 7]\), et de calculer l'espérance \(E(X)\) pour une loi sur \([3; 9]\).
• Propriétés fondamentales : Une question porte sur la propriété fondamentale de toute fonction de densité \(f\), à savoir que son intégrale sur son support est égale à 1 (ici, \(\int_0^1 f(x)dx\)).
• Loi exponentielle : La seconde partie est consacrée à la loi exponentielle. Il faut donner l'expression de la densité \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) pour un paramètre \(\lambda=2\), et calculer l'espérance \(E(T) = 1/\lambda\) pour \(\lambda=0,25\).
• Fonction de répartition : Les dernières questions évaluent la compréhension de la fonction de répartition \(F\). Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement contraire \(P(X > 3)\) à partir de \(F(3)\), et de calculer \(P(2 \le X \le 5)\) en utilisant la relation \(F(5) - F(2)\).

Exercice 2 : Étude d'une densité sur [0; 1]

Cet exercice se concentre sur une variable aléatoire \(X\) dont la densité est une fonction affine, \(f(x) = 2x\), sur l'intervalle \([0; 1]\). Il requiert des compétences en calcul intégral et en étude de fonctions pour répondre aux questions de probabilité.

• Représentation et calcul d'aire : La première étape consiste à représenter graphiquement la fonction densité, puis à calculer la probabilité \(P(X \le 0,5)\). Ce calcul correspond à l'aire sous la courbe de \(f\) entre 0 et 0,5, et se résout par une intégrale : \(\int_0^{0,5} 2x dx\).
• Fonction de répartition : Il est demandé de montrer que la fonction de répartition est donnée par \(F(x) = P(X \le x) = x^2\) pour \(x \in [0;1]\), ce qui implique le calcul de l'intégrale \(\int_0^x 2t dt\). Cette fonction est ensuite utilisée pour calculer \(P(0,2 \le X \le 0,6)\).
• Médiane et Espérance : L'exercice se termine par le calcul de deux indicateurs clés. La médiane \(m\) est déterminée en résolvant l'équation \(P(X \le m) = 0,5\), soit \(m^2 = 0,5\). L'espérance mathématique \(E(X)\) est calculée via l'intégrale \(E(X) = \int_0^1 x f(x) dx = \int_0^1 2x^2 dx\). Une comparaison entre la médiane et l'espérance est ensuite demandée.

Exercice 3 : Problème de modélisation (Attendre le tram, attendre l'appel)

Ce dernier exercice est un problème complet en deux parties, appliquant les lois uniforme et exponentielle à des situations concrètes pour évaluer la capacité à modéliser et à interpréter les résultats.

Partie A : À l'arrêt de tram (Loi Uniforme)

Un temps d'attente à un arrêt de tram est modélisé par une variable aléatoire \(T\) suivant la loi uniforme sur l'intervalle \([0; 8]\).

• Calculs de probabilités directes : \(P(T \le 2)\), \(P(T > 6)\), et la probabilité d'attendre entre 3 et 5 minutes.
• Fonction de répartition : Expression de \(P(T \le t)\) en fonction de \(t\) et résolution d'une équation pour trouver l'instant \(t\) correspondant au troisième quartile (\(P(T \le t) = 0,75\)).
• Espérance : Calcul de l'espérance \(E(T)\) et interprétation de sa valeur comme le temps d'attente moyen.

Partie B : Au centre de régulation (Loi Exponentielle)

La durée \(D\) entre deux appels d'urgence est modélisée par une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 0,2\).

• Calculs de probabilités : Détermination de \(P(D \le 5)\) et de la probabilité de n'avoir aucun appel pendant 10 minutes, \(P(D > 10)\), qui est une caractéristique de la propriété de "sans mémoire" de la loi exponentielle.
• Médiane : Détermination de la durée médiane \(d\) telle que \(P(D \le d) = 0,5\), nécessitant la résolution d'une équation avec la fonction exponentielle.
• Espérance et modélisation : Calcul de l'espérance \(E(D)\) pour en déduire le nombre moyen d'appels par heure. La dernière question inverse le problème : à partir d'un nombre moyen d'appels connu, il faut déterminer la valeur du paramètre \(\lambda\) approprié.