Découvrez un sujet complet de mathématiques pour le niveau Terminale, option maths complémentaires, axé sur les chapitres fondamentaux des limites de fonctions et de la continuité. Ce contrôle, d'une durée de 55 minutes, est un excellent outil de révision et de préparation au baccalauréat. Il est structuré en trois exercices progressifs qui balayent les compétences clés du programme : un QCM pour tester les connaissances de base, une étude de fonction approfondie avec une touche d'algorithmique, et un problème concret d'analyse économique.

Ce document est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles. Vous y trouverez des applications directes du cours, notamment sur les limites usuelles, le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et ses applications, ainsi que l'étude de variations de fonctions complexes. C'est un parfait exemple de contrôle corrigé pour consolider ses acquis.

Exercice 1 : QCM sur les Limites et la Continuité

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) de 6 questions. Il vise à évaluer rapidement la maîtrise des concepts et des calculs de base sur les limites et l'interprétation de la continuité. Aucune justification n'est demandée, ce qui en fait un excellent test de rapidité et de précision.

• Question 1 : Calcul de la limite en \(+\infty\) de la fonction \(f(x) = 3 - \frac{2}{x}\). Une application directe des limites de référence.
• Question 2 : Détermination de la limite à droite en 2 (limite en \(2^+\)) pour la fonction \(g(x) = \frac{5}{x-2}\). Cette question teste la compréhension des limites infinies et des asymptotes verticales.
• Question 3 : Calcul de la limite en \(-\infty\) de \(e^x - 4\). Un classique sur la fonction exponentielle.
• Question 4 : Identification de l'asymptote horizontale de la fonction \(h(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) en étudiant sa limite à l'infini.
• Question 5 : Application théorique du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Pour une fonction \(f\) continue et strictement croissante sur \([0; 5]\) avec \(f(0) = -3\) et \(f(5) = 4\), on doit déterminer le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=0\).
• Question 6 : Utilisation pratique du TVI. À partir d'un tableau de valeurs d'une fonction continue et strictement décroissante, il faut encadrer l'unique solution \(\alpha\) de l'équation \(f(x) = 0\).

Exercice 2 : Étude de Fonction et Recherche de Solution par Algorithme

Cet exercice se concentre sur l'étude de la fonction \(g(x) = e^x + x - 3\) sur l'intervalle \([0; 1]\) et la recherche de la solution de l'équation \(g(x) = 0\). Il combine analyse de fonction et algorithmique.

• Question 1 : Il est demandé de justifier la monotonie de la fonction \(g\) sur \([0; 1]\) en étudiant le signe de sa dérivée \(g'(x) = e^x + 1\). Ensuite, il faut appliquer le corollaire du TVI pour démontrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans cet intervalle.
• Questions 2 à 5 : Cette partie explore des méthodes numériques pour approximer la solution \(\alpha\).
  • Analyse d'un programme Python (Programme 1) qui implémente une méthode de balayage pour trouver un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près.
  • Complétion d'une fonction Python (Programme 2) implémentant l'algorithme de dichotomie pour obtenir un encadrement de \(\alpha\) avec une précision \(e\) donnée.
  • Justification du nombre d'itérations nécessaires à l'algorithme de dichotomie pour atteindre une certaine précision.
  • Interprétation du résultat de l'algorithme pour donner une valeur approchée de \(\alpha\) au centième.

Exercice 3 : Problème d'Analyse Appliqué à l'Économie

Ce dernier exercice est un problème complet qui modélise une situation économique : le coût de production de paniers de légumes. C'est une excellente application des outils d'analyse (dérivée, limites, tableau de variations) à un contexte concret.

Le coût total est modélisé par \(C(x) = 0,001x^3 + 3x + 128\) et le coût moyen par \(M(x) = \frac{C(x)}{x}\).

• Question 1 : Vérification par le calcul de l'expression du coût moyen \(M(x) = 0,001x^2 + 3 + \frac{128}{x}\).
• Question 2 : Étude de la limite de \(M(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\). Il faut ensuite interpréter graphiquement ce résultat en termes d'asymptote et lui donner un sens dans le contexte du problème.
• Question 3 : Étude des variations de la fonction de coût moyen \(M\).
  • Calcul de la fonction dérivée \(M'(x)\). Cela implique de dériver un quotient ou une somme de fonctions de référence.
  • Étude du signe de \(M'(x)\) pour en déduire le tableau de variations complet de \(M\) sur l'intervalle \(]0; 100]\).
• Questions 4 et 5 : Analyse de la rentabilité. L'activité est rentable si le coût moyen est inférieur au prix de vente de 10 €.
  • On utilise à nouveau le corollaire du TVI et le tableau de variations pour prouver que l'équation \(M(x) = 10\) admet des solutions uniques sur certains intervalles.
  • La résolution de l'inéquation \(M(x) < 10\) est menée à l'aide du tableau de variations pour déterminer la plage de production (nombre de paniers) qui assure la rentabilité de l'activité.

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