4. Quotient de limites

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir ce qui se passe quand on étudie les quotients de limites. On se fait ça tout de suite. Deux options : soit vous apprenez ce méga tableau qui est là, mais je vous le recommande pas franchement, faites ça en dernier recours si vous êtes vraiment perdus. Soit on va essayer de comprendre les quotients limites en utilisant l'intelligence et la calculatrice.

Exemple simple

On commence. Limites quand \(x\) tend vers \(7\) de \(3/6\). Donc là, la limite de \(3/x\) quand \(x\) tend vers \(7\), ce bout là, ça fait \(7\). Le \(3\), il change pas, on n'a aucun souci, en gros \(3/7\).

Exemple plus complexe

Prenons un cas beaucoup plus compliqué et on va en profiter pour voir à quoi servaient les deux moins et les deux plus qu'on a étudié en début de chapitre. La limite quand \(x\) tend vers \(2\) en étant plus petit que \(2\) de \(2x - 2\) en dessous de \(3\). Ce que je propose, c'est de faire un axe. Vous faites apparaître votre deux et vous dites que nous, on est à \(2 - \epsilon\), donc on va se rapprocher de \(2\) par en dessous. Donc on vaudra par exemple \(1.9999\). En fait, on vaut pas \(1.9999\), on est beaucoup plus près de \(2\), mais c'est ce qu'on va prendre pour nos calculs. Très bien, si \(x\) vaut \(1.9999\), \(x - 2\) vaut combien ? Vous prenez \(1.9999\), vous lui enlevez \(2\), vous êtes capable de le faire de tête. Si vous n'êtes pas capable de le faire de tête, prenez votre calculatrice. Si vous tapez \(1.9999 - 2\), ça me pose aucun problème, je suis pas là pour juger. Donc moi, je vais le faire de tête, \(1.9999 - 2\) ça fait \(-0.0001\). Donc \(-0.0001\) c'est zéro moins quelque chose qui est très proche de zéro, c'est zéro moins. Maintenant, qu'est-ce qui se passe si je divise \(3\) par \(0 -\)? C'est pas une forme à déterminer parce que les seules formes à déterminer qu'on a avec des quotients, c'est \(0/0\) et \(\infty/\infty\). Donc \(3/0\) c'est pas une forme à déterminer. On a deux manières de le faire, soit calculatrice, donc moi je tape \(3/ -0.0001\), je fais entrer et je me retrouve avec \(-30000\). C'est quasiment \(-\infty\), c'est bon, rien qu'à calculer je sais quelle est la réponse. Soit je réfléchis, je vous rappelle que diviser c'est se demander combien de fois on va rentrer le bas dans le haut. Donc si vous avez une boîte qui peut contenir \(3\), combien de fois vous allez rentrer \(0\), autrement dit un tout tout tout tout petit oeuf, eh bien vous avez une boîte de trois oeufs, vous avez un tout petit oeuf, vous pouvez le mettre une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, cinq fois, cent fois, mille fois, un milliard de fois, vous pouvez le mettre une infinité de fois. Sauf que on respecte la règle de \(-/\), ça fait \(-\infty\). Donc soit on tape à la calculatrice les chiffres comme on l'a fait là, soit on essaie de réfléchir.

Conclusion

Vous allez voir, il y a plein d'exercices en bas pour vous entraîner à faire ce genre de calcul. On continue, on continue tranquillement. La limite en \(-\infty\) de \(3/(x^2 + 1)\), je recommence, j'ai commencé par calculer la limite de \(x^2 + 1\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\), donc c'est une somme, donc j'ai deux problèmes que je vais additionner. La limite de \(x^2\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\), vous commencez à le connaître, c'est \(+\infty\). La limite de \(1\), c'est \(1\). \(+\infty + 1\), ça me fait \(+\infty\). Donc je me retrouve avec \(3/+\infty\). Deux options, soit je le tape à la calculatrice, soit je réfléchis. Est-ce que c'est une forme à déterminer \(3/\infty\) ? Non, ce n'est pas une forme à déterminer. Ok, donc je dois pouvoir le régler, forcément il y a une réponse. Je me dis combien de fois je vais rentrer \(+\infty\) dans \(3\). J'ai une boîte de \(3\), combien de fois je rentre un élément de volume \(+\infty\) dans une boîte de \(3\). Réfléchissez, combien de fois vous pouvez rentrer votre élément de volume \(+\infty\) dans une boîte de \(3\). Une fois ? Non, zéro fois, il ne rentre pas tout simplement. Et comment est-ce qu'on peut le vérifier ? La calculatrice. On tape \(3/9999999999\), ça fait \(0.000000003\), ça me fait zéro tout simplement. Un petit vérification cadeau, on continue. La limite en \(+\infty\) de \(x + 2/x\). Ceux qui me connaissent savent qu'on a toujours parlé de formes déterminées, c'est la dernière question des vidéos. Il serait peut-être temps de lever un petit défi. Le bas \(x\) tend vers \(+\infty\), le haut tend aussi vers \(+\infty\). Donc \(+\infty/+\infty\) est une forme à déterminer. Je le dis et évidemment je m'arrête pas là, je vais lever cette indétermination. Mais ça, on va le prendre à faire dans les vidéos qui arrivent. En attendant, entraînez-vous à régler les cas simples et à repérer les indéterminations. Vous êtes des champions.