Contrôle Corrigé sur les Primitives et la Fonction Logarithme - Terminale Spécialité

Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale spécialité est une excellente ressource pour réviser deux chapitres fondamentaux du programme : le calcul de primitives et l'étude de la fonction logarithme népérien. D'une durée d'une heure, ce contrôle balaye les compétences essentielles à maîtriser pour le baccalauréat. Vous y trouverez des exercices variés, allant du calcul direct de primitives à une étude de fonction complète, en passant par un QCM pour tester vos réflexes et connaissances. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous auto-évaluer et de combler vos lacunes.

Exercice 1 : Maîtrise du calcul de primitives

Cet exercice est un test direct de votre capacité à déterminer des primitives pour différents types de fonctions. Il est crucial de bien connaître ses formules de dérivation pour en déduire celles des primitives.

• Question 1 : On demande une primitive de \(f(x) = 5x + 1 + \frac{4}{x}\) sur \(]0; +\infty[\). Il s'agit d'appliquer les formules des primitives usuelles. La primitive de \(x^n\) est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) et celle de \(\frac{1}{x}\) est \(\ln(x)\) (sur \(]0; +\infty[\)).
• Question 2 : La fonction est \(g(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - x^3 + 6x^2\). Il est astucieux de réécrire \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) comme \(x^{-1/2}\) pour se ramener à une primitive de fonction puissance \(x^n\).
• Question 3 : Pour \(h(x) = 3x^2(x^3 + 2)^4\), on doit reconnaître une forme composée du type \(u'(x) \times [u(x)]^n\). Ici, si on pose \(u(x) = x^3 + 2\), on a \(u'(x) = 3x^2\). La primitive est alors de la forme \(\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}\).
• Question 4 : De même, pour \(k(x) = x^2e^{x^3-3}\), on repère une structure de la forme \(u'(x)e^{u(x)}\). En posant \(u(x) = x^3 - 3\), on a \(u'(x) = 3x^2\). La fonction \(k(x)\) est donc à un facteur près de la forme \(u'e^u\), dont une primitive est \(e^u\).

Exercice 2 : Étude de fonction approfondie avec le logarithme

Cet exercice est un problème d'analyse classique qui combine lecture graphique, calculs de limites, dérivation, étude de variations et application du théorème des valeurs intermédiaires. C'est un excellent entraînement pour l'épreuve du baccalauréat.

Partie I : Analyse d'une fonction auxiliaire

On étudie la fonction \(f(x) = \frac{2\ln(x) - 1}{x}\).

1. La première question consiste à résoudre l'équation \(f(x) = 0\). Cela revient à résoudre \(2\ln(x) - 1 = 0\), une équation simple avec logarithme.
2. La seconde question demande de déterminer le signe de \(f(x)\) par lecture graphique, ce qui servira de base pour l'étude de la fonction principale dans la partie II.

Partie II : Étude de la fonction principale

On s'intéresse maintenant à la fonction \(g(x) = (\ln x)^2 - \ln x\).

• Limites : On calcule les limites de \(g(x)\) aux bornes de son ensemble de définition, en \(0^+\) et en \(+\infty\). Ces calculs font appel aux limites de référence de la fonction ln.
• Dérivation : Il faut démontrer que \(g'(x) = f(x)\). Cette étape cruciale demande de savoir dériver une fonction contenant du logarithme (notamment une fonction composée comme \((\ln x)^2\)) et fait le lien entre les deux parties de l'exercice.
• Tableau de variations : Grâce au signe de \(f(x)\) (qui est \(g'(x)\)), on peut dresser le tableau de variations complet de la fonction \(g\).
• Théorème des valeurs intermédiaires : Une question classique qui utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer qu'une équation du type \(g(x) = m\) admet un certain nombre de solutions, en s'appuyant sur les variations et les limites de \(g\).
• Résolution d'équation : Pour résoudre \(g(x) = 0\), on est amené à faire un changement de variable en posant \(X = \ln(x)\), ce qui transforme l'équation en une équation du second degré \(X^2 - X = 0\).

Exercice 3 : QCM de connaissances sur le logarithme

Ce questionnaire à choix multiples permet de vérifier rapidement la maîtrise de plusieurs points clés du chapitre sur la fonction logarithme et des chapitres connexes.

• Question 1 : Teste la connaissance des propriétés algébriques de la fonction ln (\( \ln(a \times b) \), \( \ln(a/b) \), \( n\ln(a) \)).
• Question 2 : Évalue la capacité à résoudre une inéquation avec la fonction ln, en n'oubliant pas de vérifier l'ensemble de définition.
• Question 3 : Porte sur le calcul d'une limite avec une forme indéterminée, nécessitant l'utilisation des croissances comparées entre polynômes et logarithme.
• Question 4 : Fait le lien entre suites géométriques et logarithmes pour résoudre une inéquation de la forme \(q^n < a\).
• Question 5 : Concerne la dérivation d'une fonction faisant intervenir un produit avec \(\ln(x)\).
• Question 6 : Demande d'identifier une primitive d'une fonction de la forme \(\frac{u'}{u}\), dont la primitive est \(\ln(u)\).

Ce sujet corrigé est donc un outil complet pour s'assurer d'avoir bien compris les notions de primitives et de fonction logarithme en Terminale Spécialité. Bonnes révisions !