Découvrez le corrigé d'un sujet de maths de Terminale Spécialité sur la géométrie dans l'espace. Ce contrôle corrigé sur les vecteurs, droites et plans est parfait pour réviser et s'évaluer. Le sujet, d'une durée de 1h et sans calculatrice, comporte 4 exercices progressifs pour tester vos connaissances.

Les thèmes abordés sont centraux : manipulation de vecteurs via la relation de Chasles, travail en repère (orthonormé ou non), colinéarité, coplanarité, et surtout l'étude des droites et plans via les représentations paramétriques et leurs intersections.

Exercice 1 : Vecteurs dans un parallélépipède

Cet exercice introductif prend place dans un parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\). Il s'agit de :

• Justifier que \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) est une base de l'espace (vecteurs non coplanaires).
• Placer un point \(K\) défini par une égalité vectorielle : \(\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AE}\).
• Utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs \(\vec{OI}\) et \(\vec{BJ}\) dans la base de l'espace.

Exercice 2 : Coordonnées dans un tétraèdre

Le deuxième exercice se déroule dans un tétraèdre \(ABCD\) avec le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\). Il faut :

• Donner les coordonnées de points, notamment des milieux de segments, dans ce repère non orthonormé.
• Calculer les coordonnées de vecteurs à partir de celles des points.
• Tester si trois vecteurs (\(\vec{IL}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CD}\)) sont coplanaires, en testant leur dépendance linéaire.

Exercice 3 : Positions relatives d'une droite et d'un plan

Plongé dans un repère orthonormé, cet exercice analyse l'interaction entre une droite \(d\) et un plan \((ABC)\).

• On commence par prouver que les points \(A\), \(B\), \(C\) définissent bien un plan en montrant qu'ils ne sont pas alignés (vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) non colinéaires).
• Ensuite, on étudie une droite \(d\) donnée par sa représentation paramétrique. Il faut vérifier si des points lui appartiennent.
• Le point crucial est de déduire la nature de l'intersection entre la droite \(d\) et le plan \((ABC)\). Cela passe par l'étude de la coplanarité entre le vecteur directeur de la droite et deux vecteurs du plan.

Exercice 4 : Point d'intersection de deux droites

Ce dernier exercice est un problème classique et complet de géométrie analytique.

• La première étape est de trouver la représentation paramétrique d'une droite \(d\) connaissant un de ses points et un vecteur directeur (ici, parallèle à \((AB)\)).
• Il faut ensuite justifier que deux droites \(d\) et \((AF)\) ne sont pas parallèles en comparant leurs vecteurs directeurs.
• Enfin, la question principale est de calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites. Cela implique de résoudre un système d'équations obtenu en égalant les représentations paramétriques des deux droites.