Découvrez un sujet complet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première Spécialité, axé sur deux chapitres fondamentaux du programme : les suites numériques et le produit scalaire. Cette évaluation d'1h20, structurée en quatre exercices de difficulté progressive, est un excellent outil de révision et d'auto-évaluation. Elle balaye les compétences essentielles, allant de l'étude de suites à la géométrie analytique et pure, en passant par des applications concrètes du produit scalaire. Ce document type, potentiellement accompagné de son corrigé, vous prépare efficacement aux exigences du baccalauréat.

Exercice 1 : Étude d'une suite numérique (3 points)

Cet exercice introductif se concentre sur les bases de l'analyse des suites numériques. On étudie une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par son expression explicite : $u_n = \frac{2}{3n + 2}$. L'objectif est de maîtriser les techniques fondamentales d'étude de suites.

• Question 1.a) : Il est demandé de calculer la différence $u_{n+1} - u_n$. Cette étape est cruciale et nécessite de manipuler les fractions et les expressions algébriques. Le but est de prouver que $u_{n+1} - u_n = \frac{-6}{(3n+5)(3n+2)}$.
• Question 1.b) : À partir du signe de la différence calculée précédemment, il faut en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$. Comme le dénominateur est toujours positif pour $n \in \mathbb{N}$ et le numérateur est négatif, on peut conclure sur la monotonie de la suite.
• Question 2 : Cette question fait appel à l'utilisation de la calculatrice pour conjecturer la limite de la suite $(u_n)$. En calculant les valeurs de $u_n$ pour de grandes valeurs de $n$, l'élève doit être capable d'observer le comportement de la suite et de formuler une hypothèse sur sa convergence.

Exercice 2 : Produit scalaire dans un repère orthonormé (8 points)

Ce deuxième exercice, plus conséquent, aborde le produit scalaire dans le cadre de la géométrie analytique. À partir des coordonnées de trois points $A(4; -1)$, $B(3; 4)$ et $C(-1; 1)$, il s'agit de mobiliser différentes formules et propriétés du produit scalaire.

• Question 2 : Le point de départ est le calcul du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. Il faut d'abord déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis appliquer la formule analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = XX' + YY'$.
• Question 3 : En utilisant le résultat précédent, on doit déterminer une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. Cela implique l'utilisation de l'autre définition du produit scalaire : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{AC}|| \cos(\widehat{BAC})$, ce qui nécessite de calculer au préalable la norme des deux vecteurs.
• Question 4 : Cette question explore la notion de projection orthogonale. On note $D$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Il faut justifier que $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 15$ en utilisant la propriété de projection ($\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AD}$), puis en déduire la distance $AD$.
• Questions 5 et 6 : En guise de conclusion, l'exercice demande de calculer la hauteur issue de $C$ (la distance $CD$) dans le triangle $ABC$, souvent en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ADC$, puis de calculer l'aire exacte du triangle $ABC$ avec la formule $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$.

Exercice 3 : Applications géométriques du produit scalaire (6 points)

Cet exercice se place dans un cadre de géométrie pure, sans coordonnées. Il est centré sur l'utilisation du produit scalaire pour démontrer des propriétés et calculer des longueurs dans un triangle $ABC$ défini par $AB = 4$ cm, $BC = 5$ cm et $\widehat{ABC} = 75^\circ$.

• Question 1 : On demande de calculer la longueur $AC$. C'est une application directe du théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus), qui est une généralisation du théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos(\widehat{ABC})$.
• Question 2 : Cette question guide vers la démonstration du théorème de la médiane. En utilisant la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs $\vec{CB}$ et $\vec{CA}$ en fonction du point $I$ (milieu de $[AB]$), et en développant les carrés scalaires, on doit prouver que $CB^2 + CA^2 = 2CI^2 + \frac{1}{2}AB^2$.
• Question 3 : Il s'agit d'une application numérique des questions précédentes pour calculer la longueur de la médiane $[CI]$.
• Question 4 : La dernière question est un classique : déterminer un ensemble de points. Il faut trouver l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 12$. La méthode consiste à introduire le milieu $I$ de $[AB]$ pour transformer l'expression en $MI^2 - IA^2 = 12$, ce qui permet d'identifier l'ensemble $(E)$ comme un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 4 : QCM de synthèse sur le produit scalaire (3 points)

Pour finir, un questionnaire à choix multiples (QCM) en trois questions indépendantes permet de vérifier rapidement la maîtrise des définitions et propriétés fondamentales du produit scalaire. Aucune justification n'est demandée, mais un travail au brouillon est indispensable.

• Question 1 : Calcul direct d'un produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ à partir des longueurs $AB$, $AC$ et de l'angle $\widehat{BAC}$.
• Question 2 : Calcul d'un produit scalaire faisant intervenir la bilinéarité et la condition d'orthogonalité. On doit développer l'expression $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v})$ sachant que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
• Question 3 : Un calcul de produit scalaire, $\vec{AD} \cdot \vec{AI}$, dans une figure géométrique simple (un carré). La résolution peut se faire par la géométrie analytique (en posant un repère) ou par décomposition vectorielle avec la relation de Chasles.

En résumé, ce contrôle de maths est un excellent exercice de préparation qui couvre de manière exhaustive les chapitres sur les suites et le produit scalaire, deux piliers du programme de mathématiques de Première spécialité.