Ce document propose un corrigé détaillé pour un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Seconde. Les thèmes abordés sont les vecteurs en géométrie analytique et les automatismes de calcul. Idéal pour s'entraîner, ce contrôle d'une heure (sans calculatrice) couvre des compétences essentielles du programme : manipulation des coordonnées, propriétés des figures géométriques (parallélogramme, rectangle), alignement de points et calculs de base sur les fonctions et les expressions algébriques.

Ce corrigé pas à pas est une ressource précieuse pour les élèves de Seconde souhaitant consolider leurs acquis et préparer leurs évaluations.

Exercice 1 : Automatismes (QCM - 4 points)

Ce premier exercice est un QCM visant à vérifier la maîtrise de compétences fondamentales sans nécessiter de justification. La rapidité et la précision sont de mise.

• Question 1 : Calcul de fractions. Il faut calculer \(A = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\). En respectant la priorité des opérations, on effectue la multiplication en premier : \(A = \frac{1}{2} - \frac{4}{6}\). Après mise au même dénominateur, \(A = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6}\).
• Question 2 : Identités remarquables. La tâche est de développer \((x - 3)^2\). On utilise l'identité remarquable \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), ce qui donne \(x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9\).
• Question 3 : Image par une fonction. Pour la fonction \(f\) définie par \(f(x) = -2x^2 + 3x + 1\), on calcule l'image de -1. \(f(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -2(1) - 3 + 1 = -4\).
• Question 4 : Lecture graphique d'une équation. La résolution de \(f(x) = 0\) consiste à identifier les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses. On lit graphiquement les solutions : \(S = \{-3; -1; 1; 2\}\).

Exercice 2 : Géométrie analytique (7 points)

Cet exercice porte sur l'étude d'un quadrilatère dans un repère orthonormé à partir des coordonnées de ses sommets : \(A(4; 1)\), \(B(2; 4)\), \(C(-4; 0)\) et \(D(-2; -3)\).

• 1) Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
  La méthode la plus directe est de prouver l'égalité de deux vecteurs, par exemple \(\vec{AB} = \vec{DC}\). On calcule leurs coordonnées :
  \(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2 - 4; 4 - 1) = (-2; 3)\).
  \(\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (-4 - (-2); 0 - (-3)) = (-2; 3)\).
  Les coordonnées étant identiques, \(\vec{AB} = \vec{DC}\), ce qui prouve que ABCD est un parallélogramme.
• 2) Démontrer que ABCD est un rectangle.
  Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Vérifions si le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\) grâce à la réciproque du théorème de Pythagore. Pour cela, on calcule le carré des longueurs des côtés :
  \(AB^2 = (-2)^2 + 3^2 = 13\).
  \(AD^2 = (x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 = (-6)^2 + (-4)^2 = 52\).
  \(BD^2 = (x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2 = (-4)^2 + (-7)^2 = 65\).
  On observe que \(AB^2 + AD^2 = 13 + 52 = 65 = BD^2\). L'égalité de Pythagore étant vérifiée, le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\). Le parallélogramme ABCD est donc un rectangle.

Exercice 3 : Coordonnées, vecteurs et alignement (9 points)

Le dernier exercice approfondit l'utilisation des vecteurs pour des calculs de coordonnées et une démonstration d'alignement. Les points de départ sont \(A(2; -1)\), \(B(3; 3)\) et \(C(-5; 1)\).

• 1) Coordonnées du milieu M de [BC].
  En appliquant la formule du milieu, on trouve \(M(\frac{3-5}{2}; \frac{3+1}{2})\), soit \(M(-1; 2)\).
• 2) Coordonnées du point G.
  On cherche \(G\) tel que \(\vec{MG} = \frac{1}{3}\vec{MA}\). Commençons par calculer \(\vec{MA} = (2 - (-1); -1 - 2) = (3; -3)\). Alors \(\frac{1}{3}\vec{MA} = (1; -1)\). Si \(G(x_G; y_G)\), alors \(\vec{MG} = (x_G+1; y_G-2)\). En identifiant les coordonnées, on obtient \(x_G+1=1\) et \(y_G-2=-1\), d'où \(G(0; 1)\).
• 3) Coordonnées du milieu E de [AC].
  De la même manière, on calcule \(E(\frac{2-5}{2}; \frac{-1+1}{2})\), soit \(E(-\frac{3}{2}; 0)\).
• 4) Démontrer l'alignement de B, G et E.
  Trois points sont alignés si les vecteurs formés par ces points sont colinéaires. Montrons que \(\vec{BG}\) et \(\vec{BE}\) le sont.
  \(\vec{BG} = (0 - 3; 1 - 3) = (-3; -2)\).
  \(\vec{BE} = (-\frac{3}{2} - 3; 0 - 3) = (-\frac{9}{2}; -3)\).
  On teste la condition de colinéarité \(xy' - x'y = 0\) : \((-3)(-3) - (-\frac{9}{2})(-2) = 9 - 9 = 0\). La condition est vérifiée, les vecteurs sont colinéaires et les points B, G, E sont donc alignés.