Ce sujet de mathématiques de niveau Seconde est un contrôle complet portant sur les chapitres fondamentaux de l'année : les vecteurs, les fonctions de référence, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que l'étude graphique de fonctions. D'une durée de 55 minutes et sans calculatrice, cette évaluation teste la maîtrise des concepts et des techniques de base. Ce document constitue une excellente ressource pour s'entraîner et réviser avant un examen. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences spécifiques, allant de la manipulation vectorielle à l'analyse de courbes.

Exercice 1 : Vecteurs et Parallélogrammes

Cet exercice d'introduction à la géométrie vectorielle demande de démontrer une égalité de vecteurs en utilisant les propriétés des parallélogrammes.

• Énoncé : Étant donné deux parallélogrammes \(ABCD\) et \(CDEF\), il faut montrer que \(\vec{FB} = \vec{EA}\).
• Méthode de résolution : La clé est d'utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs \(\vec{FB}\) et \(\vec{EA}\) et de se servir des égalités vectorielles découlant des parallélogrammes (par exemple, dans un parallélogramme \(ABCD\), on a \(\vec{AB} = \vec{DC}\) et \(\vec{BC} = \vec{AD}\)). Une approche efficace consiste à décomposer les deux vecteurs :
  • \(\vec{FB} = \vec{FC} + \vec{CB}\)
  • \(\vec{EA} = \vec{ED} + \vec{DA}\)
  En utilisant les propriétés des parallélogrammes \(CDEF\) (\(\vec{FC} = \vec{ED}\)) et \(ABCD\) (\(\vec{CB} = \vec{DA}\)), on peut conclure à l'égalité.

Exercice 2 : Simplification d'une somme vectorielle

Cet exercice teste la capacité à manipuler et simplifier des expressions vectorielles en utilisant les règles de calcul et la relation de Chasles.

• Énoncé : Il s'agit de réduire l'expression \(2\vec{CD} + \vec{BC} – \vec{BA} + \vec{AC}\) à un seul vecteur.
• Méthode de résolution : La première étape est de transformer la soustraction en addition de l'opposé (\(\vec{-BA} = \vec{AB}\)). Ensuite, on réarrange les termes pour faire apparaître des simplifications via la relation de Chasles.
  \(2\vec{CD} + \vec{BC} + \vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{CD} + (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{AC} = 2\vec{CD} + \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{CD} + 2\vec{AC} = 2(\vec{AC} + \vec{CD}) = 2\vec{AD}\).

Exercice 3 : Fonctions de référence et ordre

Cet exercice évalue la connaissance des variations des fonctions de référence (carré, cube, inverse) pour comparer les images de deux nombres négatifs sans effectuer de calcul.

• Énoncé : Comparer les images de \(-4,1\) et \(-6,3\) par les fonctions carré, cube et inverse.
• Méthode de résolution : Il faut utiliser le sens de variation de chaque fonction sur l'intervalle où se trouvent les nombres, ici \(]-\infty, 0[\).
  1. Fonction carré \(f(x) = x^2\) : Elle est strictement décroissante sur \(]-\infty, 0]\). Puisque \(-6,3 < -4,1\), on a \(f(-6,3) > f(-4,1)\).
  2. Fonction cube \(g(x) = x^3\) : Elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Puisque \(-6,3 < -4,1\), on a \(g(-6,3) < g(-4,1)\).
  3. Fonction inverse \(h(x) = 1/x\) : Elle est strictement décroissante sur \(]-\infty, 0[\). Puisque \(-6,3 < -4,1\), on a \(h(-6,3) > h(-4,1)\).
  La justification est essentielle et repose sur ces propriétés de monotonie.

Exercice 4 : Résolution d'équations et d'inéquations

Cet exercice est un concentré des techniques de résolution algébrique vues en Seconde.

• Question 1a : Résoudre l'inéquation produit \((3x - 2)(4 - 5x) \ge 0\). La méthode consiste à étudier le signe de chaque facteur dans un tableau de signes, puis à appliquer la règle des signes pour le produit.
• Question 1b : Résoudre l'inéquation quotient \(\frac{4 - 3x}{x - 2} < 0\). Similaire à la précédente, on utilise un tableau de signes en étudiant le signe du numérateur et du dénominateur. Il est crucial de marquer la valeur interdite (\(x=2\)) qui annule le dénominateur.
• Question 1c : Résoudre l'équation \(7x^2 - 3 = 3(x^2 + 2)\). Il s'agit d'une équation du second degré qui se simplifie en une forme \(ax^2=c\) après développement et regroupement des termes.
• Question 2 : Résoudre l'équation \(\frac{3}{2x - 4} = 9\) sur un domaine spécifié. On se ramène à une équation du premier degré en utilisant par exemple le produit en croix, sans oublier de vérifier que la solution trouvée appartient bien à l'ensemble de définition.

Exercice 5 : Étude graphique d'une fonction

Ce dernier exercice est une application directe des compétences de lecture et d'interprétation graphique.

• Question 1 : Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(f\) à partir de sa courbe. Il faut observer l'intervalle des abscisses couvertes par la courbe, en faisant attention aux extrémités (point plein pour inclus, point creux pour exclu).
• Question 2 : Dresser le tableau de variations de \(f\). Cela implique de repérer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante et d'indiquer les coordonnées des extrema locaux.
• Question 3 : Dresser le tableau de signes de \(f(x)\). Il faut identifier les racines de la fonction (les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses) et déterminer sur quels intervalles la courbe est au-dessus (signe +) ou en dessous (signe -) de cet axe.