Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde est entièrement dédié au chapitre sur les fonctions affines. D'une durée de 30 minutes, il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et évaluer sa compréhension des notions fondamentales. Ce document, accompagné de son corrigé, permet aux élèves de réviser efficacement les points clés du cours : définition d'une fonction affine et linéaire, lien entre expression algébrique et représentation graphique, calculs d'images et d'antécédents, et détermination d'équations de droites. C'est un outil pédagogique idéal pour la préparation aux évaluations.

Ce contrôle couvre les compétences essentielles relatives aux fonctions affines, notamment :

• La reconnaissance des expressions de fonctions affines et linéaires.
• La lecture graphique des caractéristiques d'une droite (coefficient directeur, ordonnée à l'origine).
• La détermination de l'équation réduite d'une droite.
• Le calcul algébrique d'images et d'antécédents.
• Le traçage de la représentation graphique d'une fonction affine.

Exercice 1 : Questionnaire à Choix Multiples (QCM)

Ce premier exercice est un QCM de 7 questions qui balaye les connaissances de base sur les fonctions affines. L'objectif est de vérifier rapidement la maîtrise des définitions et des techniques fondamentales sans nécessiter de justification détaillée.

• Question 1 : Il s'agit d'identifier la seule expression correspondant à une fonction affine parmi quatre propositions. La compétence testée est la reconnaissance de la forme canonique \(f(x) = ax + b\).
• Question 2 : On demande de résoudre l'équation \(g(x) = 0\) pour la fonction \(g(x) = 16x - 4\). Cela revient à trouver l'antécédent de 0, une compétence de base en résolution d'équation du premier degré.
• Question 3 : Cette question porte sur la reconnaissance d'une fonction linéaire, un cas particulier de fonction affine où l'ordonnée à l'origine est nulle (\(h(x) = mx\)).
• Question 4 : L'élève doit déterminer le coefficient directeur (la pente) d'une droite tracée dans un repère. C'est un exercice de lecture graphique.
• Question 5 : Il faut associer une fonction affine donnée par son expression, \(f(x) = -3x + 2\), à sa bonne représentation graphique parmi quatre droites. Cela mobilise la compréhension du rôle du coefficient directeur (négatif, donc fonction décroissante) et de l'ordonnée à l'origine (le point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
• Question 6 : Similaire à la question 2, il faut résoudre l'équation \(g(x) = 2\) pour \(g(x) = -10x + 4\), c'est-à-dire calculer l'antécédent de 2.
• Question 7 : À partir de la représentation graphique d'une droite, il faut choisir son équation réduite correcte (\(y = ax+b\)) parmi quatre propositions. Cela combine la lecture de l'ordonnée à l'origine et le calcul du coefficient directeur.

Exercice 2 : Détermination d'équations de droites par lecture graphique

Cet exercice se concentre sur la compétence de traduction entre le monde graphique et le monde algébrique. Quatre droites (\((d_1)\), \((d_2)\), \((d_3)\) et \((d_4)\)) sont représentées dans un repère. Pour chacune d'elles, l'élève doit :

1. Lire graphiquement l'ordonnée à l'origine \(p\) : C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
2. Déterminer le coefficient directeur \(m\) : En choisissant deux points A et B à coordonnées entières sur la droite, on calcule le coefficient directeur avec la formule \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
3. Écrire l'équation réduite de la droite : En assemblant les valeurs de \(m\) et \(p\) trouvées, on obtient l'équation de la forme \(y = mx + p\).

Cet exercice est fondamental pour consolider le lien entre la visualisation géométrique d'une droite et son expression analytique.

Exercice 3 : Étude d'une fonction affine et tracé de droite

Le dernier exercice est une étude plus complète qui mêle calculs algébriques et représentation graphique, à partir de fonctions données explicitement. On a la fonction \(f(x) = -\frac{1}{2}x + 4\) et la droite \((d)\) d'équation \(y = \frac{1}{2}x + 6\).

• Question 1 : Il s'agit d'un calcul d'image simple : calculer \(f(\frac{6}{5})\). Il suffit de remplacer \(x\) par la valeur donnée dans l'expression de la fonction.
• Question 2 : On demande de résoudre l'équation \(f(x) = -\frac{3}{2}\). C'est un calcul d'antécédent qui se ramène à la résolution d'une équation du premier degré.
• Question 3 et 4 : Ces questions très directes visent à vérifier la capacité à identifier le coefficient directeur (\(m\)) et l'ordonnée à l'origine (\(p\)) dans l'équation réduite d'une droite.
• Question 5 : La dernière question est un exercice de construction. Il faut tracer la droite \((d)\) d'équation \(y = \frac{1}{2}x + 6\). La méthode attendue consiste à placer l'ordonnée à l'origine (le point \((0, 6)\)) puis à utiliser le coefficient directeur (\(\frac{1}{2}\)) pour trouver un second point (en avançant de 2 en abscisse, on monte de 1 en ordonnée) avant de tracer la droite.

Ce sujet corrigé sur les fonctions affines est donc un excellent moyen de s'assurer que toutes les compétences de base du chapitre sont acquises avant une évaluation.