2. Reconnaître une fonction linéaire

Introduction aux fonctions linéaires

On va maintenant voir le cas des fonctions linéaires. On a vu la dernière fois les fonctions affines, là on va définir la fonction linéaire. Vous allez voir que finalement une fonction linéaire c'est une fonction affine plus simple. Pourquoi ? L'expression d'une fonction linéaire est tout simplement \(f(x) = Ax\), où \(A\) est le coefficient directeur. Ce qui a disparu par rapport à une fonction affine, c'est l'ordonnée à l'origine. Graphiquement, s'il n'y a plus le terme constant \(B\) (qui était le point où la droite touche l'axe des ordonnées, c'est-à-dire l'ordonnée à l'origine), cela signifie que la droite passe par l'origine. En d'autres termes, \(B = 0\), c'est comme si on avait \(Ax + 0\), et le zéro est à l'origine.

Exemple de fonction linéaire : le ticket de cinéma

Prenons l'exemple du ticket de cinéma. Si vous le prenez à l'unité, si j'en prends 0, ça me coûte 0, si j'en prends un, ça me coûte par exemple 10 euros, 12 euros, 15 euros. Si j'en prends deux, ça me coûte 30 euros, etc. C'est donc quelque chose de linéaire. Cet exemple est limite parce que ce n'est pas quelque chose de continu, je ne peux pas prendre 2,7 tickets, j'en prends toujours un, deux, trois. La fonction affine, en général, c'est si par exemple vous prenez un abonnement et que vous payez en plus quand même le ticket mais beaucoup moins cher. Par exemple, je prends un abonnement de 30 euros, donc je commence, je n'ai encore rien payé, enfin je n'ai encore vu aucun film, j'ai pris 0 ticket mais ça me coûte déjà 30 euros et après ça me coûtera, je sais pas, disons 2 euros par place.

Reconnaître une fonction linéaire

Maintenant, regardons plusieurs expressions de fonctions et déterminons si ce sont des fonctions linéaires ou pas. Les fonctions linéaires, c'est \(f(x) = Ax\), il n'y a pas de terme constant \(B\). Graphiquement, ça veut dire que la droite passe par l'origine et après on a une pente, ça peut être positif ou négatif. Par exemple, pour la fonction \(2x + 1\), on est bien sur une fonction affine parce qu'on a \(Ax + B\), donc ce n'est pas une fonction linéaire. Pour la fonction \(-3x\), c'est bien une fonction linéaire car il n'y a pas de terme constant. Pour la fonction \(x\), c'est un cas un peu particulier parce qu'on se dit qu'il n'y a pas de \(A\), mais en fait, il y a un \(A\) qui est égal à 1, donc c'est bien une fonction linéaire. Pour la fonction \(x^2\), ce n'est pas une fonction linéaire car on a une puissance 2, ce qui signifie que c'est une fonction de second degré. Pour la fonction \(\frac{6}{2}x + \frac{2}{2}\), qui se simplifie en \(3x + 1\), c'est une fonction affine mais pas une fonction linéaire parce qu'il y a un terme constant. Pour la fonction \(\frac{1}{x}\), ce n'est pas une fonction linéaire car c'est l'inverse de la fonction linéaire. Enfin, pour la fonction \(x(x - 1) - x^2\), on peut la développer pour obtenir \(x^2 - x - x^2\), qui se simplifie en \(-x\), qui est bien une fonction linéaire. Donc, pour reconnaître une fonction linéaire, il faut faire attention à développer les expressions, simplifier les fractions, et faire attention aux puissances de l'inconnue. Une fonction linéaire est une fonction de premier degré, donc l'inconnue doit être à la puissance 1. On se voit sur des prochains cas, le prochain cas ça va être des représentations graphiques.