Contrôle Corrigé de Maths (Seconde) : Ensembles de Nombres et Taux d'Évolution

Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de mathématiques pour la classe de Seconde, portant sur les chapitres fondamentaux des ensembles de nombres et des taux d'évolution. Ce contrôle, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est conçu pour évaluer la maîtrise des notions clés telles que les intervalles, les valeurs absolues, et l'application des pourcentages dans des contextes variés. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à consolider vos compétences. Ce sujet de maths est un excellent outil de révision pour les élèves de Seconde souhaitant s'entraîner et progresser.

Exercice 1 : Maîtrise des Intervalles et des Valeurs Absolues

Cet exercice complet de 8 points vise à vérifier la compréhension des opérations sur les intervalles et la manipulation des valeurs absolues, compétences essentielles en analyse de fonctions.

• Intersection et réunion d'intervalles : La première question demande de déterminer l'intersection ( \( I \cap J \) ) et la réunion ( \( I \cup J \) ) pour différents couples d'intervalles. Par exemple, pour \( I = [-2,5; 4] \) et \( J = ]1; 5] \), il faut identifier la partie commune et l'ensemble total couvert par les deux intervalles.
• Simplification de valeurs absolues : La deuxième partie consiste à réécrire des expressions sans la notation de valeur absolue. Cela implique de déterminer le signe de l'expression à l'intérieur des barres, comme pour \( |6 - 2\pi| \) où il faut comparer 6 à \( 2\pi \), ou encore pour \( |(1 - \sqrt{2})^2| \) où la propriété du carré simplifie le calcul.
• Inéquations avec valeurs absolues : La dernière question établit un lien direct entre les valeurs absolues et les intervalles. Il faut traduire des inéquations du type \( |x + 7| < 15 \) et \( |x - 7| \le 4 \) en intervalles, puis trouver l'intersection de ces derniers. C'est un savoir-faire crucial pour la résolution de problèmes plus complexes.

Exercice 2 : Correspondance entre Notations Mathématiques

Cet exercice de 5 points se présente sous la forme d'un tableau à compléter. L'objectif est de jongler avec les trois représentations d'un ensemble de nombres : l'intervalle (par exemple \( x \in [5; 11] \)), l'encadrement (par exemple \( 1 < x < 7 \)), et l'inégalité avec valeur absolue (par exemple \( |x| \le 6 \)). Cet exercice renforce la compréhension de la définition de la valeur absolue comme une distance et sa traduction géométrique sur la droite numérique.

Exercice 3 : Inéquations avec la Fonction Carré

Court mais fondamental, cet exercice de 2 points demande de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction carré. En s'aidant de la représentation graphique de la parabole \( y = x^2 \), il faut trouver l'ensemble des valeurs de \( x \) telles que \( 0 \le x^2 < 9 \) ou \( x^2 \ge 16 \). Cela mobilise la connaissance des variations de la fonction carré et la résolution d'inéquations du second degré simples.

Exercice 4 : Application des Pourcentages et Taux d'Évolution

Ce dernier exercice de 5 points aborde des problèmes concrets basés sur les pourcentages. Les questions sont indépendantes et couvrent les principaux aspects du chapitre.

• Calcul d'une valeur de référence : La première question est un calcul de pourcentage "inversé". Connaissant une partie (le loyer de 600€) et le pourcentage qu'elle représente (30%), il faut retrouver la valeur totale (le salaire mensuel).
• Calcul d'un taux d'évolution : La deuxième question consiste à calculer le taux d'évolution, en pourcentage, du chiffre d'affaires d'un hypermarché entre deux années. Il s'agit d'appliquer la formule \( t = \frac{V_{final} - V_{initial}}{V_{initial}} \) et d'interpréter le signe du résultat (hausse ou baisse).
• Taux d'évolution successifs et réciproques : La dernière question est un problème classique de recherche de la valeur initiale après deux augmentations successives. Un objet subit une hausse de 10%, puis une hausse de 20% pour atteindre 792€. Il faut utiliser les coefficients multiplicateurs et la notion de coefficient multiplicateur global pour retrouver le prix d'origine. C'est un excellent test de la compréhension des évolutions réciproques.