10. Intervalle et valeur absolue

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment résoudre des équations et des inéquations avec valeur absolue en utilisant la droite numérique. Pour résoudre ce genre d'inéquation, il faut se rappeler de ce qu'est la définition de valeur absolue de \(a - b\). La définition est la suivante : la valeur absolue de \(a - b\) c'est la distance entre \(a\) et \(b\). Donc, si \(|x - 3| = 2\), ça veut dire que je veux que la distance entre \(x\) et \(3\) soit égale à \(2\).

Comment résoudre une équation avec valeur absolue

On peut commencer par placer le point qui nous intéresse, \(3\), parce que c'est par rapport à ce point là qu'on va mesurer la distance. Ensuite, on veut que cette distance soit égale à \(2\). Par exemple, si \(x = 4\), la distance entre \(4\) et \(3\) vaut \(1\), donc \(4\) n'est pas solution de cette équation. En revanche, si \(x = 5\), la distance entre \(5\) et \(3\) vaut \(2\), donc \(5\) est une solution de cette équation. De la même manière, si on se déplace de \(2\) vers la gauche à partir de \(3\), on arrive à \(1\), qui est aussi une solution de l'équation. Donc, les valeurs de \(x\) telles que \(|x - 3| = 2\) sont \(x = 1\) et \(x = 5\), autrement dit \(x\) appartient à l'ensemble \(\{1, 5\}\).

Comment résoudre une inéquation avec valeur absolue

Dans le cas d'une inéquation, c'est à peu près la même chose. Cette fois-ci, on veut que la distance entre \(x\) et \(2\) soit plus petite que \(5\). Par exemple, si \(x = 3\), la distance entre \(3\) et \(2\) est \(1\), qui est bien plus petite que \(5\). En fait, pour que \(|x - 2| < 5\), \(x\) peut prendre n'importe quelle valeur comprise entre \(-3\) et \(7\). Donc, on peut dire que \(x\) appartient à l'intervalle \([-3, 7]\). Maintenant, à vous de jouer pour résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue. N'oubliez pas de vous entraîner, car c'est en pratiquant que vous maîtriserez ces concepts. Bonne chance !