9. Union d'intervalles

Introduction

Allez les amis, on est parti pour parler d'intervalle et plus précisément d'union d'intervalle. Qu'est-ce que c'est qu'une union d'intervalle? Une union d'intervalle, c'est l'ensemble des nombres qui sont soit dans l'un, soit dans l'autre, soit dans les deux. C'est important, soit dans l'un, soit dans l'autre, soit dans les deux. Donc, quand on vous demande de donner l'union de deux intervalles, il faut absolument que vous passiez par la case de les représenter. Franchement, ça simplifie la vie.

Exemple 1

Prenons l'exemple de l'union des intervalles \(]0,5[\) et \([3,6]\). Pour représenter \(]0,5[\), je mets mes deux nombres, 0 et 5, je recopie l'ouverture ou la fermeture des intervalles. Donc là, les deux nombres qui sont exclus, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas dans l'intervalle en question, et je fais mon petit grisé. Je recommence avec le deuxième intervalle \([3,6]\). Donc 3 et 6, 3 est inclus et 6 est inclus. Maintenant, on va regarder où est-ce que je suis soit dans l'un, soit dans l'autre, soit dans les deux. Parce que c'est comme ça que je vais réussir à déterminer l'union. Sur cette zone là, de -2 à 0, je ne suis ni dans l'un, ni dans l'autre. Donc, je ne suis pas dans l'union. Entre 0 et 3, je suis dans l'intervalle \(]0,5[\), donc cette zone est dans l'union. Entre 3 et 5, c'est la zone où ces deux intervalles se recouvrent, donc je suis dans les deux et donc dans l'union. Enfin, entre 5 et 6, je suis dans l'intervalle \([3,6]\), donc cette zone est aussi dans l'union. La zone où je suis soit dans l'un, soit dans l'autre, soit dans les deux, c'est la zone qui part de 0 et qui va jusqu'à 6. Dernière question, qu'est-ce que je fais de mes bornes, est-ce que je les inclus ou est-ce que je les exclus? 0 n'est dans aucun des deux intervalles, donc il est exclu de l'union. 6 est dans l'intervalle \([3,6]\), donc il est inclus dans l'union. L'union des deux intervalles est donc \(]0,6]\).

Exemple 2

Prenons un autre exemple avec les intervalles \([1,3]\) et \([3,+\infty[\). On représente les deux intervalles sur la droite numérique. On remarque que l'union des deux intervalles s'étend de 1 jusqu'à \(+\infty\). Cependant, 1 n'est dans aucun des deux intervalles, donc il est exclu de l'union. 3 est dans les deux intervalles, donc il est inclus dans l'union. L'union des deux intervalles est donc \(]1,+\infty]\).

Exemple 3

Pour le dernier exemple, prenons les intervalles \([-\infty,3]\) et \([2,+\infty[\). On remarque que l'union des deux intervalles s'étend de \(-\infty\) jusqu'à \(+\infty\). C'est-à-dire que l'union des deux intervalles est l'ensemble des nombres réels. Vous savez maintenant faire les intersections et les unions. On vous a mis des exercices en dessous, faites-les parce que ça se comprend très vite mais ça s'oublie très vite. J'ai confiance en vous, vous êtes des machines.