Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde porte sur le chapitre fondamental de l'arithmétique et des ensembles de nombres. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, ce sujet est conçu pour évaluer la compréhension profonde des définitions et des propriétés des différents types de nombres. C'est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant consolider leurs bases en arithmétique. Ce document propose une analyse détaillée, idéale pour s'auto-évaluer et progresser.

Le sujet balaye plusieurs compétences clés :

• La classification des nombres dans les ensembles \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\).
• La distinction entre nombres décimaux et rationnels non décimaux.
• La maîtrise des concepts de multiples, diviseurs, nombres pairs, impairs et premiers.
• La capacité à raisonner, justifier une affirmation et trouver des contre-exemples.

Exercice 1 : Classification des nombres (3 points)

Cet exercice teste la connaissance fondamentale des ensembles de nombres. Il est divisé en deux questions.

1. Identifier le plus petit ensemble d'appartenance : Pour chacun des nombres \(-2, \frac{1}{5}, \sqrt{25}, \pi\), il est demandé de donner le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient.
   • \(-2\) est un entier négatif, son plus petit ensemble est donc celui des entiers relatifs, noté \(\mathbb{Z}\).
   • \(\frac{1}{5}\) peut s'écrire \(0,2\). Il possède une écriture décimale finie, c'est donc un nombre décimal. Son plus petit ensemble est \(\mathbb{D}\).
   • \(\sqrt{25}\) est égal à \(5\). C'est un entier positif, il appartient donc à l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\).
   • \(\pi\) est un nombre avec une infinité de décimales non périodiques. Il n'est ni décimal, ni rationnel. C'est un nombre réel, son ensemble est \(\mathbb{R}\).
2. Trouver un nombre rationnel non décimal : La seconde question demande de fournir un exemple de nombre \(x\) qui soit rationnel (\(x \in \mathbb{Q}\)) mais pas décimal (\(x \notin \mathbb{D}\)). Un exemple classique est \(\frac{1}{3}\), dont l'écriture décimale \(0,333...\) est infinie.

Exercice 2 : Nombres décimaux et rationnels (3 points)

Cet exercice vise à vérifier la capacité à démontrer l'appartenance d'un nombre à un ensemble en utilisant les définitions.

1. Démontrer qu'un nombre est décimal : Il faut prouver que la fraction \(\frac{3}{4}\) est un nombre décimal. Pour cela, il suffit de poser la division ou de remarquer que le dénominateur est une puissance de 2 (\(4=2^2\)). En effectuant la division, on obtient \(\frac{3}{4} = 0,75\), qui est bien une écriture décimale finie.
2. Démontrer qu'un nombre est rationnel : Il est demandé de montrer que \(0,45\) est un nombre rationnel. Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire comme le quotient de deux entiers. On a \(0,45 = \frac{45}{100}\). En simplifiant cette fraction, on obtient \(\frac{9}{20}\), ce qui confirme que \(0,45\) est bien un nombre rationnel.

Exercice 3 : Le raisonnement par contre-exemple (3 points)

Cet exercice évalue la logique et la capacité à infirmer une proposition universelle par la recherche d'un simple contre-exemple.

1. La première affirmation est : « Quand on multiplie deux entiers pairs consécutifs, on obtient toujours un multiple de 16. » Pour la prouver fausse, il suffit de tester les premiers cas. Prenons les deux premiers entiers pairs non nuls : 2 et 4. Leur produit est \(2 \times 4 = 8\). Or, 8 n'est pas un multiple de 16. L'affirmation est donc fausse.
2. La seconde affirmation est : « Multiplier un nombre décimal par 100 donne toujours un nombre entier. » Un nombre décimal est un nombre de la forme \(\frac{a}{10^n}\). Si on choisit un nombre décimal avec plus de deux chiffres après la virgule, comme \(0,123\), son produit par 100 est \(0,123 \times 100 = 12,3\), qui n'est pas un entier. L'affirmation est donc fausse.

Exercice 4 : Vrai ou Faux avec justification (7 points)

Cet exercice, le plus long du sujet, demande de se prononcer sur la véracité de plusieurs propositions en s'appuyant sur des définitions mathématiques rigoureuses.

• 1) -5 est un entier naturel. Faux. L'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) est \(\{0, 1, 2, 3, ...\}\). Le nombre -5 est un entier relatif (\(\in \mathbb{Z}\)).
• 2) 45 est un multiple de 3. Vrai. Un nombre \(a\) est un multiple de \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(a = k \times b\). Ici, \(45 = 15 \times 3\), donc 45 est bien un multiple de 3.
• 3) 41 est impair. Vrai. Un entier est impair s'il peut s'écrire sous la forme \(2k+1\). On a \(41 = 2 \times 20 + 1\).
• 4) \(|-7-2|\) est un nombre premier. Faux. On calcule d'abord \(|-7-2| = |-9| = 9\). Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Or, 9 a pour diviseurs 1, 3 et 9. Ce n'est donc pas un nombre premier.
• 5) 1,4 est pair. Faux. La parité est une propriété des nombres entiers. Comme 1,4 n'est pas un entier, il ne peut être ni pair ni impair.

Exercice 5 : Question de cours (4 points)

Ce dernier exercice est une restitution organisée de connaissances. Il est demandé de démontrer que \(\frac{1}{3}\) n'est pas un nombre décimal.

La démonstration se fait généralement par l'absurde. On suppose que \(\frac{1}{3}\) est un nombre décimal. Par définition, il existerait alors un entier \(a\) et un entier naturel \(n\) tels que \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\). Cette égalité implique que \(10^n = 3a\). Cela signifie que \(10^n\) est un multiple de 3. Cependant, la décomposition en facteurs premiers de \(10^n\) est \((2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n\). Les seuls facteurs premiers de \(10^n\) sont 2 et 5. Le nombre 3 n'apparaît pas dans cette décomposition. Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, \(10^n\) ne peut donc pas être divisible par 3. On aboutit à une contradiction. Notre supposition initiale est donc fausse : \(\frac{1}{3}\) n'est pas un nombre décimal.