Introduction
Allez les amis, on se retrouve pour finir enfin cette histoire d'ensemble de nombres en parlant de l'ensemble qui englobe tous les autres ensembles, c'est-à-dire les nombres réels. Les nombres réels, qu'est-ce que c'est ? En fait, un nombre réel c'est tous les nombres que vous connaissez. Donc à la question "Les nombres suivants sont-ils des nombres réels ?", je n'ai rien besoin d'écrire. Pourquoi ? Parce que tous les nombres que vous connaissez sont des nombres réels. Un demi, cent, -1, 100, et \( \frac{10}{3} \) sont tous des nombres réels. En bref, tout est des nombres réels sauf certains que vous verrez peut-être en maths expert en terminale. En tout cas, pour l'instant et jusqu'à la terminale, tous les nombres sont des nombres réels.
Identification des nombres réels
Donc la question qu'on pourrait poser c'est : quels sont les nombres qui sont des nombres réels, c'est-à-dire qui appartiennent à ce grand ensemble, mais qui ne sont pas par exemple ni des naturels, ni des relatifs, ni des décimaux, ni des rationnels ? Autrement dit, quels sont les nombres qui sont vraiment à l'extrême périphérie de l'ensemble général et qui ne sont dans aucun des quatre ensembles qu'on a vu précédemment ? Alors, ces nombres-là, vous pouvez les reconnaître de deux manières. La première manière, c'est qu'il y a du \(\pi\) à l'intérieur (\(\pi\), 3\(\pi\), 5\(\pi\), peu importe). Et la deuxième manière, c'est que c'est une racine de quelque chose qui n'est pas simplifiable.
Exemples de nombres réels
Prenons l'exemple de \(\sqrt{80}\). Quand on cherche le plus petit ensemble, je vous rappelle que la démarche est de partir de là et à chaque fois de se demander si c'est celui-là. Non, parce que c'est sous la racine, et ainsi de suite. Avant toute chose, on va le simplifier. Pour ceux qui ont des petites faiblesses sur la simplification de racines, allez voir la vidéo qu'on a faite là-dessus. Avoir la compétence de simplifier des racines vous sera ultra nécessaire pour pouvoir faire ce qu'on fait ici. Je commence à simplifier \(\sqrt{80}\). Moi, je sais que 80, c'est 9 fois 9, et je sais que quand je fais la racine d'un nombre au carré, j'obtiens le nombre positif lui-même. Autrement dit, la racine et le carré se simplifient. Pourquoi c'est important ? Parce qu'on part de \(\sqrt{80}\), donc on aurait pu se dire "Ah, ça se passe ici, c'est un réel". Oui, sauf qu'en fait \(\sqrt{80}\) c'est une manière simplifiée d'écrire 9. Donc je commence : est-ce que 9 c'est un nombre de moutons dans un champ ? Oui, donc c'est un entier naturel. Ça a l'air d'être un réel qui n'est ni naturel, ni relatif, ni décimal, ni rationnel, mais en fait c'est un naturel, c'est-à-dire c'est le plus basique de tous les nombres.
On continue avec \(\sqrt{27}\). Je simplifie la racine de 27 en 3 fois 9, sauf que 9 est 3 au carré, donc ça me fera 3 fois \(\sqrt{3}\). Je commence : est-ce que 3\(\sqrt{3}\) est un nombre de moutons dans un champ ? Non, donc ce n'est pas un naturel. Est-ce que c'est un relatif ? Non. Est-ce que c'est un décimal ? Non. Est-ce que c'est un rationnel ? Non. C'est donc forcément un réel. Quand vous avez un nombre avec une racine qui n'est pas simplifiable, c'est un bon vieux réel.
On continue avec 3\(\pi\). Je ne cherche pas plus loin, je vois du \(\pi\), c'est un réel. 3/\(\pi\) est également un réel. Si j'avais \(\sqrt{\pi}\), alors c'est aussi un réel.
Prenons l'exemple de 3.5. C'est une fraction, donc je recommence : est-ce que c'est un naturel ? Non. Est-ce que c'est un relatif ? Non. Est-ce que c'est un décimal ? Oui, donc je ne peux pas aller plus loin que ça. C'est donc un décimal.
En conclusion, un nombre ne sera un nombre réel, c'est-à-dire non naturel, non relatif, non décimal et non rationnel, que s'il a une racine de quelque chose qui n'est pas simplifiable ou s'il a du \(\pi\). À la question "Les nombres suivants sont-ils des réels ?", on prend tous ces nombres-là et on se demande s'ils sont des réels. Oui, tous les nombres que vous connaissez sont des réels. Ils sont tous à l'intérieur de ce grand carré que l'on appelle les réels. Tout nombre que vous connaissez est un réel, sauf qu'en général on va vous demander le plus petit ensemble auquel ils appartiennent. Faites des exercices en dessous, c'est un classique du contrôle. À vous tous !