4. Reconnaître un nombre rationnel - Ensemble ℚ

Introduction

Allez les amis, on est parti pour parler des nombres rationnels et surtout ce qui nous intéresse, c'est faire la différence entre un nombre rationnel et un nombre décimal parce que c'est ça la vraie galère. Après avoir vu les nombres naturels, c'est-à-dire ceux qui correspondent à par exemple une quantité de boutons dans un troupeau (un, deux, trois, quatre, cent, mille), après avoir vu les nombres relatifs, c'est-à-dire ceux qui correspondent à un nombre d'animaux dans un troupeau sauf qu'on a rajouté plus ou moins deux, après avoir vu les nombres décimaux, c'est-à-dire ceux qui peuvent s'écrire comme un nombre fini de chiffres derrière la virgule, autrement dit ceux qui peuvent se noter comme \(a \times 10^n\), nous allons aborder les nombres rationnels.

Les nombres rationnels

Les nombres rationnels s'écrivent de manière générale \(a/b\) avec \(a\) et \(b\) qui sont des entiers naturels ou relatifs. Alors la difficulté de ce chapitre est quand je vous donne un nombre, par exemple comme \(5/4\), vous savez une fois que vous l'avez simplifiée très rapidement si c'est un naturel ou un relatif. Il faut que ça soit un nombre entier. Si il y a un moins devant, c'est que c'est un relatif. S'il n'y a pas de moins devant, c'est que c'est naturel. La difficulté c'est plutôt de se demander si c'est un nombre décimal ou un nombre rationnel.

Différence entre nombre décimal et nombre rationnel

Pour savoir si un nombre est un décimal ou un nombre rationnel, la première étape est de simplifier la fraction. Deuxième étape, on casse le dénominateur avec des deux, des cinq et tout ce que je peux trouver d'autres. Troisième étape, s'il y a que des deux et des cinq, c'est un nombre décimal. S'il y a quoi que ce soit d'autre, c'est un nombre rationnel. Prenons l'exemple de \(7/4\). On ne peut pas simplifier \(7/4\) car 7 est un nombre premier. On va donc s'occuper du dénominateur et dire que 4 c'est \(2 \times 2\). Est-ce que \(2 \times 2\) ça me ramène au décimal ou au rationnel ? Vu que j'ai que des deux, je peux me permettre de faire \(x 5 \times 5\) en haut et en bas. Pourquoi je fais ça ? Parce que si je fais \(x 5 \times 5\), ça me fait \(35/100\). Donc je vais avoir cette fois \(35/100\). Ce qui m'intéresse c'est le dénominateur 100. Vu que j'ai un dénominateur 100, c'est à dire que j'ai un \(10^n\), donc ce nombre-là c'est un décimal.

Conclusion

En conclusion, tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels mais tous les nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux. Pour savoir si un nombre est un décimal ou un nombre rationnel, une fois que la fraction est simplifiée, on casse le dénominateur. Si on a que du 2 et du 5, alors c'est un décimal. Si on a autre chose que du 2 et du 5, alors c'est un rationnel.