Introduction
Allez les amis, on est partis pour démontrer si un nombre est pair ou impair. On s'y met tout de suite. Pour montrer qu'un nombre est pair, il faut que vous arriviez à l'écrire sous la forme \(2 \times \text{quelque chose}\). Donc le processus est toujours le même : vous partez de votre nombre, vous travaillez, travaillez, travaillez, et à la fin, vous devez avoir \(2 \times \text{quelque chose}\) ou alors \(2 \times \text{quelque chose} + 1\). Si vous arrivez à \(2 \times \text{quelque chose}\), c'est qu'il est pair. Si vous arrivez à \(2 \times \text{quelque chose} + 1\), c'est qu'il est impair.
Exemple avec un nombre concret
Si je prends le cas de 37, je fais un peu des essais à la calculatrice, mais je vois qu'en fait c'est \(2 \times 18 + 1\) parce que \(2 \times 18\) ça fait 36, plus 1. Donc si j'arrive à écrire \(2 \times 18 + 1\), c'est qu'il est impair.
Exemple avec une expression générale
Maintenant, qu'est-ce qui se passe si on vous donne un nombre sous la forme \(2a + 3\), avec \(a\) appartenant à \(\mathbb{N}\) (c'est-à-dire un nombre naturel) ? Comment est-ce que vous pouvez faire, sachant que vous ne connaissez pas la valeur de \(a\) ? Vous ne pouvez pas faire des essais à la calculatrice, c'est impossible. Donc ce qu'on va faire, c'est essayer de factoriser par deux.
Prenons l'exemple de \(2a + 3\). Je pourrais très bien dire que c'est \(2a + 2 + 1\). En effet, 3 c'est \(2 + 1\). J'ai \(2a\) et \(2\) qui ont un point commun, donc je pourrais dire que c'est \(2 \times (a + 1) + 1\). Et bien, je suis arrivé à montrer que c'était \(2 \times \text{quelque chose} + 1\), donc je peux dire que ce nombre est impair, sans connaître sa valeur exacte. C'est ça la beauté de l'arithmétique.
On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer.