2. Reconnaître un entier relatif - Ensemble ℤ

Introduction

Allez les amis, on est parti pour parler des nombres entiers relatifs et faire la différence avec les nombres entiers tout court.

Qu'est-ce qu'un nombre entier relatif ?

Un nombre entier relatif, qu'est-ce que c'est ? Eh bien, c'est exactement la même chose qu'un nombre entier, sauf qu'on a le droit d'y ajouter en plus un signe moins. Par exemple, -1, -5, mais aussi +3. Comment est-ce qu'on fait pour les reconnaître ? Ce sont des nombres entiers, donc ils ne s'écrivent pas comme une fraction et correspondent à un nombre que l'on peut compter, mais il y a un signe plus ou un signe moins devant. Donc, -3 c'est bien un nombre entier relatif, mais je dois l'écrire comme "-3 appartient à \(\mathbb{Z}\)".

Exemples de nombres entiers relatifs

Prenons "-4/2", ça n'a pas l'air d'être un nombre entier. Pourtant, comme on l'a vu dans la vidéo précédente et comme on l'a vu dans la vidéo qui parle de simplification, "-4/2" ça peut s'écrire "-2 fois 2" et "2 sur 2" et moi des fois deux, je peux supprimer les deux, ça fait "-2". C'est bien un nombre entier, il y a un signe moins devant, donc je suis bien face à un nombre relatif. Prenons "-5/5", même si j'essaye de simplifier, c'est-à-dire encore une fois, simplifier c'est casser le nombre en haut et en bas avec de la multiplication et essayer de voir ce qui peut se simplifier, je n'arriverai jamais à le simplifier parce que 5 c'est un nombre premier, c'est-à-dire que je ne peux pas, par définition, le casser en plusieurs nombres. Donc ça, je peux dire directement que ça n'appartient pas aux relatifs. Et enfin, prenons "3". Là, ça commence à devenir compliqué. Est-ce que trois c'est un nombre entier relatif ? Vous, en première instance, vous avez envie de répondre non. "3, c'est un nombre entier naturel, donc 3, ça appartient à \(\mathbb{N}\), ça n'appartient pas aux nombres entiers relatifs parce que je n'ai pas de signe moins devant". Réfléchissez à ça. Nous, en ce moment, on est en France, extrêmement mal dessinée, mais mieux que ça, nous on est à Toulouse. Moi qui suis à Toulouse, si vous me demandez "Es-tu à Toulouse ?", je réponds oui. Mais si vous me demandez "Es-tu en France ?", je réponds aussi oui. "3" c'est un entier naturel, c'est-à-dire qu'il est ici, oui, mais il est aussi dans le grand carré des nombres relatifs. Autrement dit, tous les nombres entiers naturels sont aussi des relatifs. Donc, "3" c'est un naturel, mais c'est aussi un relatif. C'est pas faux de dire les deux, c'est à la fois à Toulouse et en France.

Conclusion

D'où la difficulté qui va arriver en contrôle. En contrôle, on va vous demander "Donner le plus petit ensemble auquel ces nombres appartiennent". Prenons "3", il appartient à la fois aux naturels et aux relatifs, mais quel est le plus petit ensemble ? C'est dans la plus petite zone dans laquelle vous pouvez dire qu'il est, la plus petite zone, c'est celle des entiers naturels. Le seul moyen de progresser, c'est de faire les exercices qu'on a mis en dessous de cette vidéo. Faites-les, franchement, faites-les, ça va vous sauver la vie. À vous de jouer !