6. Savoir si un nombre est premier

Introduction

Allez les amis, on est parti pour la technique infaillible pour savoir si un nombre est premier. On s'y met tout de suite.

Définition d'un nombre premier

D'abord, une définition d'un nombre premier. Un nombre premier, c'est un nombre qui peut être écrit que comme une multiplication de 1 par lui-même. Je vous donne un exemple : 7. Le seul moyen d'écrire 7, c'est d'écrire 1 ou \(1 \times 7\). Alors qu'à l'inverse, 9, on peut l'écrire neuf fois 1, on peut le faire \(1 \times 9\), mais aussi on peut aussi l'écrire \(3 \times 3\). Donc, ce n'est pas un nombre premier. Pour savoir si un nombre est premier, il va falloir montrer que les diviseurs sont seulement 1 et lui-même. Donc, il va falloir aller tester tous les diviseurs possibles pour bien vérifier que la seule division qui existe est par 1 et par lui-même.

Exemple de vérification

Prenons l'exemple de 45. On va commencer par prendre 45 et le diviser par 2, puis on va le diviser par 3, par 4, par 5, par 6, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à 45. Sauf qu'en réalité, on n'est pas obligé d'aller aussi loin, il suffit d'aller jusqu'à la racine de ce nombre. Donc, la racine de 45, ça fait à peu près 6 ou 7. Donc, ce test, on va le faire que jusqu'à 6. On va le diviser par tous les nombres entre 1 et 6. Mieux que ça, on va le diviser par tous les nombres premiers entre 1 et 6, donc 2, 3 et 5. Donc, pour 45, je commence par le diviser par 1. \(45 / 1\), évidemment ça marche. \(45 / 2\), est-ce que c'est divisible ? Non, \(45 / 2\) ça fait 22,5. \(45 / 3\), \(45 / 3\) ça fait \(3 \times 15 = 45\). À partir du moment où je peux écrire 45 comme \(3 \times 15\), ça veut dire que le seul moyen d'écrire 45 n'est pas \(1 \times 45\), mais aussi \(3 \times 15\). Donc, 45 n'est pas premier. Si je recommence avec 29, je calcule la racine de 29. La racine de 29 c'est à peu près 5,3. Donc, j'ai juste à tester tous les nombres entre 1 et 5. \(29 / 1\), évidemment ça fait 29, ça marche. \(29 / 2\), ça fait 14,5, ça ne marche pas. \(29 / 3\), ça donne des virgules, ça ne marche pas. On ne va pas diviser par 4, ça ne marche pas. \(29 / 5\), ça ne marche pas. Ok, je m'arrête là. J'ai testé tous les diviseurs possibles entre 1 et la racine de 29, il n'y en a aucun qui me permet de diviser 29. Donc, 29 est bien un nombre premier. On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer. Vous êtes des champions !