Analyse détaillée du sujet de maths sur les automatismes (Niveau Première Technologique)

Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Première Technologique se concentre sur les automatismes, un ensemble de compétences fondamentales couvrant divers chapitres du programme. Ce sujet de maths, d'une durée de 45 minutes et sans calculatrice, évalue la capacité des élèves à appliquer rapidement et efficacement des notions clés en proportions, calcul algébrique, analyse de fonctions, statistiques et probabilités. Découvrez notre analyse détaillée, exercice par exercice, de ce sujet complet, idéal pour la révision.

Exercice 1 : Proportions et Évolutions

Cette première partie teste les connaissances sur les pourcentages, les évolutions successives et les proportions. Ces compétences sont essentielles dans de nombreuses situations de la vie courante et professionnelle.

• Question 1 : Il s'agit de calculer un taux d'évolution en pourcentage. En passant de 1600 à 2000 abonnés, on applique la formule du taux d'évolution : \( T = \frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}} = \frac{2000 - 1600}{1600} \). Le calcul mène à \( \frac{400}{1600} = \frac{1}{4} = 0,25 \), soit une augmentation de 25%.
• Question 2 : Cette question aborde les évolutions réciproques. Une augmentation de 100% correspond à un coefficient multiplicateur de \( C_M = 1 + \frac{100}{100} = 2 \). Pour revenir au prix initial, il faut appliquer le coefficient multiplicateur réciproque \( C'_M = \frac{1}{C_M} = \frac{1}{2} = 0,5 \). Ce coefficient correspond à un taux d'évolution \( t' = C'_M - 1 = 0,5 - 1 = -0,5 \), soit une baisse de 50%.
• Question 3 : On demande d'exprimer une proportion sous forme de fraction irréductible. La proportion d'élèves suivant l'option théâtre est de \( \frac{12}{30} \). Pour la simplifier, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 6. On obtient \( \frac{12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{2}{5} \).

Exercice 2 : Calculs Algébriques

Cette section évalue des compétences de base en calcul algébrique : résolution d'équations, d'inéquations, et manipulation de fractions.

• Question 4 : Il faut résoudre une équation produit nul : \( (5 - x)(2x + 1) = 0 \). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On résout donc \( 5 - x = 0 \) (ce qui donne \( x=5 \)) et \( 2x + 1 = 0 \) (ce qui donne \( x = -\frac{1}{2} \)). Les solutions sont \( S = \{-\frac{1}{2}; 5\} \).
• Question 5 : Il s'agit de résoudre une inéquation du second degré : \( (2 - x)(x + 1) > 0 \). On étudie le signe de chaque facteur puis on dresse un tableau de signes pour déterminer le signe du produit. Les racines sont \( x=2 \) et \( x=-1 \). Le produit est strictement positif entre les racines, donc l'ensemble des solutions est l'intervalle \( ]-1; 2[ \).
• Question 6 : La résolution de l'équation \( x^2 = 49 \) est demandée. Cette équation a deux solutions réelles, la racine carrée positive et la racine carrée négative du second membre. On a donc \( x = \sqrt{49} = 7 \) ou \( x = -\sqrt{49} = -7 \).
• Question 7 : Un calcul de fractions avec respect des priorités opératoires : \( 1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{9} \). On effectue d'abord la multiplication : \( \frac{3 \times 2}{4 \times 9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \). Puis la soustraction : \( 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).
• Question 8 : Application numérique simple d'une formule. L'Indice de Masse Corporelle (IMC) est donné par \( I = \frac{m}{t^2} \). Avec \( m=80 \) kg et \( t=2 \) m, on calcule \( I = \frac{80}{2^2} = \frac{80}{4} = 20 \).

Exercice 3 : Fonctions et Droites (Lecture Graphique)

Cette partie porte sur l'interprétation graphique, une compétence cruciale en analyse de fonctions.

• Question 9 : Résoudre graphiquement l'équation \( g(x) = 3 \). Il faut trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe \(C_g\) avec la droite horizontale d'équation \( y=3 \).
• Question 10 : Résoudre graphiquement l'inéquation \( g(x) \le 3 \). On cherche les abscisses des points de la courbe situés en dessous ou sur la droite d'équation \( y=3 \).
• Question 11 : Déterminer le minimum de la fonction \( g \) sur \( [0; 4] \). On cherche l'ordonnée du point le plus bas de la courbe sur cet intervalle.
• Question 12 : Tracer une droite dans un repère, définie par un point \( A(1; 3) \) et un coefficient directeur de -2. On place le point A, puis on utilise le coefficient directeur pour trouver un second point.
• Question 13 : Lire graphiquement l'équation réduite de la droite \( \Delta \). On identifie l'ordonnée à l'origine \( p \) et le coefficient directeur \( m \). Graphiquement, \( \Delta \) passe par \( (0,1) \) donc \( p=1 \) et par \( (4,3) \), donc \( m = \frac{3-1}{4-0} = 0,5 \). L'équation est \( y = 0,5x + 1 \).

Exercice 4 : Statistiques Descriptives

Cette section est dédiée à la lecture et à l'interprétation de représentations statistiques.

• Question 14 : Lire l'écart interquartile sur un diagramme en boîte. L'écart interquartile est la différence \(Q_3 - Q_1\). On lit sur le diagramme \(Q_1 = 8\) et \(Q_3 = 14\). L'écart est donc \( 14 - 8 = 6 \).
• Question 15 : Interpréter le diagramme en boîte. Le troisième quartile \(Q_3 = 14\) signifie que 75% des appels ont duré 14 minutes ou moins.
• Question 16 : Lire une information sur un graphique en courbe et effectuer un calcul. Le nombre d'entrées en juillet est de 8000 et en septembre de 4000. La baisse est de \( 8000 - 4000 = 4000 \) entrées.

Exercice 5 : Probabilités et Logique

La dernière partie évalue la capacité à manipuler les concepts de base des probabilités à partir d'un tableau et d'un arbre pondéré.

• Question 17 : Calculer une probabilité conditionnelle \( P_A(S) \). C'est la probabilité que la séance ait lieu après 18h sachant que le billet est à tarif réduit. On utilise le tableau : \( P_A(S) = \frac{\text{Card}(A \cap S)}{\text{Card}(A)} = \frac{32}{80} = 0,4 \).
• Question 18 : Calculer la probabilité d'une intersection \( P(A \cap S) \). D'après le tableau, sur 200 billets au total, 32 correspondent à l'intersection. Donc \( P(A \cap S) = \frac{32}{200} = 0,16 \).
• Question 19 : Décrire l'événement \( \bar{A} \cap S \). C'est l'intersection de l'événement contraire de A ('le billet est à plein tarif') et de l'événement S ('la séance a lieu après 18h').
• Question 20 : Utiliser un arbre pondéré pour calculer une probabilité totale. On cherche \( P(V) \). D'après la formule des probabilités totales : \( P(V) = P(R \cap V) + P(\bar{R} \cap V) = P(R) \times P_R(V) + P(\bar{R}) \times P_{\bar{R}}(V) = 0,7 \times 0,2 + 0,3 \times 0,5 = 0,29 \).