Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première Technologique. Ce sujet, d'une durée de 45 minutes et sans calculatrice, porte sur les chapitres fondamentaux des automatismes et des taux d'évolution. Idéal pour s'entraîner et valider ses acquis, ce contrôle balaye un large spectre de compétences essentielles : calculs de pourcentages, manipulation des taux d'évolution, calcul numérique et algébrique, étude de droites, statistiques et ensembles. Ce document est une ressource précieuse pour les élèves de STMG, STI2D, STL et STD2A souhaitant réviser efficacement.

Exercice 1 : Automatismes - Proportions et Pourcentages

Cette première partie évalue la maîtrise des calculs de base avec les pourcentages, un savoir-faire crucial dans de nombreuses situations concrètes.

• Question 1 : Il s'agit d'appliquer un pourcentage direct. Pour trouver le nombre de demi-pensionnaires dans un lycée de 840 élèves, on calcule \(35\% \times 840 = \frac{35}{100} \times 840\).
• Question 2 : Cet exercice demande une démarche inverse. Si 27 salariés représentent 15% de l'effectif total, il faut retrouver la valeur totale. On résout l'équation \(0,15 \times \text{Effectif total} = 27\).
• Question 3 : Ici, on aborde les pourcentages de pourcentages. 40% des clients ont une carte, et parmi eux, 25% l'utilisent. Le pourcentage total est donc le produit des proportions : \(25\% \times 40\% = 0,25 \times 0,40\).

Exercice 2 : Automatismes - Évolutions

Ce bloc se concentre sur le chapitre des taux d'évolution, en testant la compréhension des augmentations, des baisses, du coefficient multiplicateur et des évolutions successives.

• Question 4 : Calcul d'une valeur finale après une augmentation. Un prix de 36 € augmentant de 5% devient \(36 \times (1 + \frac{5}{100}) = 36 \times 1,05\).
• Question 5 : Traduire une baisse en pourcentage en coefficient multiplicateur. Une baisse de 12% correspond à un coefficient multiplicateur de \(CM = 1 - \frac{12}{100} = 0,88\).
• Question 6 : Calculer un taux d'évolution à partir de la valeur initiale et finale. Pour un chiffre d'affaires passant de 25 000 € à 23 000 €, le taux est \(t = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{23000 - 25000}{25000}\).
• Question 7 : Calculer le taux d'évolution global de deux évolutions successives. Une hausse de 10% suivie d'une hausse de 20% ne donne pas 30% ! Le coefficient multiplicateur global est \(CM_g = CM_1 \times CM_2 = 1,10 \times 1,20\).

Exercice 3 : Automatismes - Calcul Numérique

Cette section vérifie des compétences de calcul fondamentales, sans lesquelles la résolution de problèmes plus complexes est impossible.

• Question 8 : Somme de fractions. Pour calculer \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6}\), il faut mettre les fractions au même dénominateur avant de les additionner et de simplifier le résultat.
• Question 9 : Manipulation des puissances de 10. L'expression \(\frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4}\) se simplifie en utilisant les règles \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
• Question 10 : Conversion d'unités. Pour passer de 72 km/h en m/s, il faut se rappeler qu'1 km = 1000 m et 1 h = 3600 s.
• Question 11 : Résolution d'une équation du premier degré. L'équation \(3x - 7 = x + 5\) se résout en isolant l'inconnue \(x\).

Exercice 4 : Automatismes - Calcul Algébrique

Le calcul littéral est au cœur de cet exercice, avec des questions sur le développement, la factorisation et la résolution d'équations et d'inéquations.

• Question 12 : Développement d'une expression par double distributivité : \((2x - 3)(x + 4)\).
• Question 13 : Factorisation à l'aide d'une identité remarquable. L'expression \(x^2 - 25\) est de la forme \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
• Question 14 : Résolution d'une équation produit-nul. Pour que \((x - 4)(2x + 6) = 0\), il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.
• Question 15 : Résolution d'une inéquation du premier degré. Pour résoudre \(-2x + 8 > 0\), on isole \(x\) en faisant attention au changement de sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif.

Exercice 5 : Automatismes - Droites

Cette partie porte sur la géométrie analytique de base, notamment les fonctions affines et leur représentation graphique.

• Question 16 : Détermination du coefficient directeur d'une droite passant par deux points A(1; 5) et B(3; -1), en utilisant la formule \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
• Question 17 : Tracé d'une droite à partir de son équation réduite \(y = 0,5x - 1\). Il suffit de trouver deux points, par exemple en calculant l'ordonnée à l'origine et un autre point.

Exercice 6 : Automatismes - Statistiques et Ensembles

Les dernières questions évaluent la lecture de graphiques, le calcul d'indicateurs statistiques et la manipulation des ensembles de nombres.

• Question 18 : Lecture d'un diagramme en bâtons pour comparer des données.
• Question 19 : Calcul de la médiane d'une série statistique discrète (4; 7; 2; 12; 5; 3; 8; 6). Il faut d'abord ordonner la série.
• Question 20 : Détermination de l'intersection de deux intervalles, \(I = [-2; 5]\) et \(J = ]3; 8]\). L'ensemble solution \(I \cap J\) est l'ensemble des réels appartenant à la fois à I et à J.