Ce sujet de bac blanc de mathématiques pour la classe de Première Technologique est une excellente ressource pour s'entraîner à l'épreuve anticipée. D'une durée de 2 heures, ce contrôle couvre un large éventail de chapitres essentiels du programme, allant des automatismes aux statistiques à deux variables, en passant par les variables aléatoires, les suites, les polynômes du second degré et la dérivation. Ce contrôle corrigé vous permettra de tester vos connaissances et de vous familiariser avec le format de l'examen.

Partie 1 : Automatismes

Cette première section vise à évaluer votre maîtrise des calculs et raisonnements de base, sans justification exigée. Les thèmes abordés sont variés :

• Pourcentages : Calcul de prix après une baisse, recherche du taux d'évolution réciproque après une hausse, et calcul du taux d'évolution global suite à des variations successives. Par exemple, quel était le prix d'un sac coûtant 45 € après une baisse de 25% ?
• Calculs numériques : Conversion de l'écriture scientifique vers l'écriture décimale, comme pour \(0,002 \times 10^4\).
• Équations et inéquations : Résolution d'une équation du premier degré simple de type \(5x - 3 = 2x + 9\) et d'une inéquation produit du second degré comme \((x - 2)(5 - x) \ge 0\), nécessitant un tableau de signes.
• Fonctions affines : Lecture graphique de l'équation réduite d'une droite, tracé d'une droite à partir de son équation (\(y = x + 1\)), et vérification de l'appartenance d'un point à une droite.
• Statistiques et probabilités : Calcul de la moyenne d'une série statistique présentée sous forme de diagramme en barres, détermination de la médiane d'une série de données, et calcul d'une probabilité simple dans un contexte de proportion.

Partie 2, Exercice 1 : Les boissons chaudes d'un café

Cet exercice se concentre sur les statistiques à deux variables. À partir d'un relevé liant la température extérieure et le nombre de boissons chaudes vendues, vous devrez analyser un nuage de points.

• Calcul des coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) du nuage et son placement sur le graphique.
• Utilisation d'une droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés, d'équation \(y = -12x + 250\). Il est demandé de vérifier que le point moyen \(G\) appartient bien à cette droite et de la tracer.
• Application de l'ajustement pour réaliser une estimation (interpolation) du nombre de boissons vendues pour une température donnée (7°C).
• Analyse critique d'une prévision par extrapolation pour une température de 25°C, en expliquant les limites de la pertinence du modèle.

Partie 2, Exercice 2 : Les finitions d'une imprimerie en ligne

Cet exercice aborde le chapitre des variables aléatoires. On étudie la loi de probabilité d'une variable \(X\) représentant le coût d'un supplément pour une commande.

• Détermination d'une probabilité manquante \(p\) dans un tableau de loi, en utilisant le fait que la somme des probabilités est égale à 1.
• Calcul de la probabilité d'un événement, tel que \(P(X \ge 3)\).
• Calcul de l'espérance mathématique \(E(X)\) et interprétation concrète de cette valeur dans le contexte de l'exercice (le gain moyen par commande).
• Justification qu'une variable aléatoire \(Y\) suit une loi de Bernoulli et détermination de son paramètre.
• Résolution d'un problème "inverse" : trouver la valeur d'un supplément pour que l'espérance atteigne un objectif de 3 €.

Partie 2, Exercice 3 : Suites et fonctions (vrai ou faux)

Ce dernier exercice est un "vrai ou faux" où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Il balaye les chapitres sur les suites et les fonctions.

• Suites numériques : Reconnaître si une suite définie par \(u_n = 3 \times 2^n\) est arithmétique ou géométrique. Calculer un terme spécifique (\(v(2)\)) d'une suite géométrique connaissant son premier terme et sa raison.
• Polynômes du second degré : Étudier le signe de la fonction \(f(x) = (x - 2)(x + 5)\) sur un intervalle donné pour valider ou infirmer une affirmation.
• Dérivation et tangente : Vérifier si l'équation d'une tangente à la courbe d'une fonction (\(g(x) = x^3 - 3x\)) en un point donné (\(x=2\)) est correcte. Cela implique de calculer la dérivée \(g'(x)\), son nombre dérivé \(g'(2)\), l'ordonnée du point \(g(2)\) et de construire l'équation \(y = g'(a)(x-a) + g(a)\).