Contrôle Corrigé sur les Polynômes du Second Degré - Première STI2D

Découvrez le corrigé détaillé de ce contrôle de mathématiques pour Première STI2D, portant sur le chapitre des polynômes du second degré. Ce sujet de maths, d'une durée d'1h30, est une excellente ressource pour s'entraîner et maîtriser les compétences clés liées à l'étude de fonctions quadratiques, notamment à travers leur forme factorisée. Le contrôle est divisé en quatre exercices qui abordent la lecture graphique, la modélisation d'un problème de bénéfice, un problème de boîte (volume et aire du fond) et une série de questions Vrai/Faux pour tester la compréhension des propriétés fondamentales. Ce contrôle, qui porte sur le tronc commun de mathématiques, convient à toutes les séries technologiques : STI2D, STL, STMG, ST2S, STHR, STD2A et S2TMD.

Ce sujet corrigé est idéal pour réviser avant une évaluation. Chaque question est analysée pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution, de l'identification des racines à la détermination du sommet d'une parabole, en passant par l'établissement de tableaux de signes et l'application de ces concepts à des problèmes concrets.

Exercice 1 : Lecture graphique d'une fonction polynôme

Cet exercice se concentre sur l'analyse graphique et algébrique de la fonction f définie par f(x) = -2(x + 1)(x - 5). La courbe représentative C_f est fournie, permettant de lier la visualisation à la manipulation de l'expression.

• Question 1 : Il s'agit de trouver les racines de f, c'est-à-dire les solutions de f(x) = 0. La forme factorisée donne immédiatement les racines x_1 = -1 et x_2 = 5. Ces valeurs correspondent aux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
• Question 2 : On demande de déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole. L'abscisse du sommet, α, se trouve à mi-chemin entre les racines : α = (-1 + 5) / 2 = 2. L'axe de symétrie est donc la droite d'équation x = 2. Le maximum est atteint pour x = 2, et sa valeur est f(2) = -2(2 + 1)(2 - 5) = 18. Le sommet a pour coordonnées (2; 18).
• Question 3 : La résolution graphique de l'inéquation f(x) > 0 consiste à identifier l'intervalle où la courbe C_f est située au-dessus de l'axe des abscisses. C'est le cas entre les racines, donc la solution est l'intervalle ]-1; 5[.
• Question 4 : Pour vérifier si le point A(4; 10) appartient à la courbe, il faut calculer l'image de 4 par la fonction f. On calcule f(4) = -2(4 + 1)(4 - 5) = -2(5)(-1) = 10. Comme le résultat est bien 10, le point A appartient à la courbe.

Exercice 2 : Problème de bénéfice d'un atelier

Cet exercice est un problème concret d'optimisation. On étudie le bénéfice B(x) = -0,5(x - 20)(x - 120) d'un atelier qui produit x capteurs. C'est une application directe de l'étude des fonctions du second degré.

• Question 1 : On calcule B(0) = -0,5(-20)(-120) = -1200. Cela signifie que si l'atelier ne produit aucun capteur, il subit une perte de 1200€, correspondant aux coûts fixes.
• Question 2 : L'équation B(x)=0 a pour solutions les racines évidentes x = 20 et x = 120. Ce sont les seuils de rentabilité : l'atelier ne fait ni bénéfice ni perte pour une production de 20 ou 120 capteurs.
• Question 3 : Pour savoir quand l'atelier est bénéficiaire, il faut résoudre B(x) > 0. On dresse le tableau de signes du polynôme. Le coefficient dominant est -0,5 < 0, la parabole est donc tournée vers le bas. Le bénéfice est positif entre les racines. L'atelier est donc bénéficiaire pour une production comprise entre 21 et 119 capteurs.
• Question 4 : La recherche du bénéfice maximal revient à trouver le sommet de la parabole. L'abscisse du sommet est α = (20 + 120) / 2 = 70. La production pour un bénéfice maximal est de 70 capteurs. Le bénéfice maximal est alors B(70) = -0,5(70 - 20)(70 - 120) = 1250€.

Exercice 3 : Une boîte sans couvercle

Cet exercice aborde un problème géométrique : on découpe quatre carrés de côté x aux coins d'une plaque de 30 cm sur 20 cm pour former une boîte. Le volume de la boîte est donné par V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x), et l'aire de son fond conduit à un polynôme du second degré.

• Question 1 : La justification des contraintes sur x (0 < x < 10) est une étape classique de modélisation. La longueur x doit être positive, et on ne peut pas enlever plus de matière qu'il n'y en a sur la largeur la plus courte (20 cm), d'où 2x < 20.
• Question 2 : Un simple calcul d'image : V(4) = 4(30 - 8)(20 - 8) = 1056 cm³.
• Question 3 : Le fond de la boîte est un rectangle de dimensions 30 - 2x et 20 - 2x. En développant, son aire vaut A(x) = (30 - 2x)(20 - 2x) = 4x² - 100x + 600.
• Question 4 : On compare V(3) = 1008 cm³, V(4) = 1056 cm³ et V(5) = 1000 cm³ : parmi ces trois options, c'est la découpe x = 4 qui donne la plus grande boîte.
• Question 5 : On vérifie que A(x) - 336 = 4(x - 3)(x - 22). L'équation A(x) = 336 a donc pour solutions 3 et 22 ; comme 0 < x < 10, seule la découpe x = 3 cm convient pour obtenir un fond de 336 cm².

Exercice 4 : Vrai ou Faux

Ce dernier exercice évalue la compréhension des propriétés théoriques des polynômes du second degré.

• Affirmation 1 : Faux. Un polynôme du second degré possède au maximum deux racines : s'il s'annule en -4 et en 6, il s'écrit a(x + 4)(x - 6) et vaut -25a ≠ 0 en 1. La valeur 1 est l'abscisse de l'axe de symétrie (milieu de -4 et 6), pas une racine.
• Affirmation 2 : Vrai. La fonction x → -3x² + 5 est un polynôme du second degré avec un coefficient dominant a = -3 négatif. Sa parabole est orientée vers le bas et admet donc un maximum.
• Affirmation 3 : Faux. Le produit (x - 2)(x + 3) est un polynôme du second degré dont les racines sont -3 et 2. Le coefficient dominant étant positif, il est négatif entre ses racines.