Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité est une évaluation complète portant sur deux chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré et la trigonométrie. D'une durée de 1h40 et sans calculatrice, ce devoir teste en profondeur la capacité des élèves à manipuler les concepts, à résoudre des équations et inéquations variées, et à appliquer leurs connaissances dans des problèmes concrets d'optimisation. Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner, réviser et préparer leurs propres évaluations. Vous y trouverez un corrigé détaillé qui vous guidera pas à pas.

Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première spécialité, polynômes du second degré, trigonométrie, fonction cosinus, fonction sinus, équation du second degré, inéquation, optimisation, cercle trigonométrique.

Exercice 1 : Maîtrise du cercle trigonométrique (11 points)

Cet exercice est un QCM de compétences fondamentales en trigonométrie. Il s'assure que les bases du cercle trigonométrique sont solidement acquises.

• Question 1 : Il est demandé de placer des points sur le cercle trigonométrique associés aux réels \( \frac{2\pi}{3}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{25\pi}{4} \) et \( \frac{41\pi}{2} \). Pour les deux derniers, un calcul de la mesure principale est nécessaire pour simplifier l'angle et le placer correctement. Par exemple, \( \frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} \), donc le point est le même que pour \( \frac{\pi}{4} \).
• Question 2 : Cette question teste la capacité à déterminer si deux angles, \( \frac{16\pi}{3} \) et \( -\frac{5\pi}{3} \), correspondent au même point sur le cercle. La méthode consiste à vérifier si leur différence est un multiple de \( 2\pi \).
• Question 3 : Un grand classique. Connaissant \( \sin(\alpha) = \frac{4}{5} \) avec \( \alpha \in [0; \frac{\pi}{2}] \), il faut trouver \( \cos(\alpha) \). Cela passe par l'utilisation de la relation fondamentale \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \). Le signe du cosinus est déterminé par l'intervalle donné.
• Question 4 : Résolution de deux équations trigonométriques de base sur des intervalles spécifiques : \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) sur \( [0; 2\pi[ \) et \( \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) sur \( [-\pi; \pi[ \). La connaissance des valeurs remarquables et la lecture du cercle trigonométrique sont indispensables.
• Question 5 : La dernière question monte en complexité avec la résolution d'inéquations trigonométriques. Il faut résoudre graphiquement \( \cos(x) > \frac{1}{2} \) sur \( [0; 2\pi[ \) et \( \sqrt{2}\sin(x) + 1 \le 0 \) sur \( [-\pi; \pi[ \). La justification graphique sur le cercle est explicitement demandée.

Exercice 2 : Étude d'une fonction trigonométrique (6 points)

Cet exercice porte sur l'analyse de la fonction \( f(x) = 1 - 4 \cos(5x) \). C'est une application directe des propriétés des fonctions cosinus et sinus.

• Questions 1 & 2 : On commence par calculer des images simples pour se familiariser avec la fonction, puis on étudie sa parité. En calculant \( f(-x) \) et en utilisant le fait que la fonction cosinus est paire, on démontre que \( f \) est également une fonction paire.
• Question 3 : Il faut démontrer que \( f \) est périodique de période \( T = \frac{2\pi}{5} \). Le calcul de \( f(x + \frac{2\pi}{5}) \) permet, en utilisant la périodicité de la fonction cosinus, de retomber sur \( f(x) \).
• Question 4 : La dernière question demande d'établir un encadrement de la fonction. En partant de l'encadrement connu \( -1 \le \cos(5x) \le 1 \), on construit pas à pas l'encadrement de \( f(x) \) pour montrer que \( -3 \le f(x) \le 5 \).

Exercice 3 : Inéquation et position relative (3 points)

Cet exercice fait le lien entre résolution algébrique d'inéquation et interprétation graphique. On considère les fonctions \( f(x) = \frac{2}{x+3} \) et \( g(x) = -x \).

La résolution de l'inéquation \( f(x) > g(x) \) se ramène, après manipulation, à l'étude du signe d'une expression rationnelle : \( \frac{x^2 + 3x + 2}{x+3} > 0 \). Il faut alors étudier le signe du numérateur, un polynôme du second degré, et du dénominateur. Un tableau de signes est la méthode la plus rigoureuse pour conclure. Le résultat de cette inéquation permet de déterminer les intervalles sur lesquels la courbe de \( f \) est située au-dessus de la courbe de \( g \), ce qui correspond à l'étude de leur position relative.

Exercice 4 : Problème d'optimisation (6 points)

Ce problème concret est un excellent exemple d'application des polynômes du second degré. Il s'agit de trouver l'aire maximale d'un pendentif.

• Question 1 & 2 : Après avoir montré que l'aire de la partie grisée est donnée par la fonction \( A(x) = -\frac{\pi}{2}(x^2 - 4x) \), un polynôme du second degré en \( x \), la question principale est de trouver la valeur de \( x \) pour laquelle cette aire est maximale. Cela revient à trouver l'abscisse du sommet de la parabole représentant \( A(x) \), dont la formule est \( x_s = -\frac{b}{2a} \). On calcule ensuite cette aire maximale. C'est un problème classique d'optimisation.
• Question 3 & 4 : Une contrainte supplémentaire est ajoutée : l'aire grisée doit représenter au moins un quart de la surface totale du pendentif. Cette contrainte se traduit par une inéquation du second degré : \( -x^2 + 4x - 2 \ge 0 \). Il faut la résoudre en calculant le discriminant \( \Delta \), trouvant les racines, puis en déterminant le signe du polynôme pour donner l'ensemble des valeurs de \( x \) possibles.

Exercice 5 : Équation trigonométrique et second degré (4 points)

Cet exercice final est une synthèse brillante qui combine trigonométrie et polynômes. L'objectif est de résoudre l'équation (E) : \( 2\cos^4(x) + 3\sin^2(x) - 2 = 0 \).

La stratégie clé est d'effectuer un changement de variable. En posant \( X = \cos^2(x) \) et en utilisant la relation \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - X \), on transforme l'équation trigonométrique complexe en une équation du second degré simple en \( X \) : \( 2X^2 - 3X + 1 = 0 \). Une fois les solutions pour \( X \) trouvées, on revient à la variable \( x \) en résolvant les équations \( \cos^2(x) = X_1 \) et \( \cos^2(x) = X_2 \). Cette dernière étape demande de la rigueur pour trouver toutes les solutions dans l'intervalle \( [0; 2\pi[ \).