Ce sujet de contrôle de mathématiques, niveau Première Spécialité, est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser deux chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré et les généralités sur les suites numériques. Ce document, proposé avec une analyse détaillée, constitue un support de révision complet. Il aborde les compétences essentielles telles que la résolution d'équations, l'étude de fonctions polynômes, la modélisation de problèmes et la manipulation des suites.

Exercice 1 : Vrai ou Faux Justifié

Cet exercice est un QCM (Question à Choix Multiple) où chaque affirmation doit être rigoureusement justifiée. Il teste la maîtrise des définitions et propriétés de base.

• Affirmation 1 : Étude du signe du polynôme \(100x^2 - 1\). Pour prouver ou réfuter que \(100x^2 - 1 \ge 0\) pour tout réel \(x\), il faut trouver les racines de l'équation \(100x^2 - 1 = 0\), qui sont \(x = 1/10\) et \(x = -1/10\). Le polynôme est du signe de 'a' (positif ici) à l'extérieur des racines. L'affirmation est donc fausse.
• Affirmation 2 : Lien entre racine double et signe d'un polynôme. L'affirmation "f admet une racine double" équivaut à "\(\Delta = 0\)". Si c'est le cas, \(f(x)\) est toujours du signe de son coefficient dominant 'a'. L'affirmation \(f(x) \ge 0\) n'est donc vraie que si \(a > 0\). L'équivalence est donc fausse.
• Affirmation 3 : Résolution d'un système somme-produit. Le système \(\begin{cases} x+y=8 \\ xy=11 \end{cases}\) invite à utiliser la propriété des racines d'un polynôme du second degré. Les nombres \(x\) et \(y\) sont les solutions de l'équation \(X^2 - SX + P = 0\), soit \(X^2 - 8X + 11 = 0\). Le calcul du discriminant \(\Delta\) et des racines permet de vérifier la validité de l'ensemble de solutions proposé.
• Affirmation 4 : Calcul de termes et manipulation d'une suite récurrente. La suite est définie par \(u_0 = -3\) et \(u_{n+1} = n + 2u_n\). La première question demande de calculer \(u_4\) de proche en proche. La seconde question demande d'établir une relation entre \(u_{n+2}\) et \(u_n\) en substituant l'expression de \(u_{n+1}\).

Exercice 2 : Analyse d'une fonction polynôme

Cet exercice s'appuie sur les sorties d'un logiciel de calcul formel pour analyser une fonction polynôme \(f(x) = 3x^2 + 3x - 60\) sous ses différentes formes : développée, canonique et factorisée.

• Question 1 : Justification de la forme factorisée. Pour retrouver la forme \(3(x-4)(x+5)\), il faut calculer les racines de \(f(x)=0\) à l'aide du discriminant. Le calcul de \(\Delta = 729\) donne les racines \(-5\) et \(4\), confirmant la factorisation.
• Question 2 : Utilisation de la forme la plus adaptée. Pour trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses (résoudre \(f(x)=0\)), la forme factorisée est idéale. Pour dresser le tableau de variation, la forme canonique \(f(x) = 3(x+1/2)^2 - 243/4\) est la plus directe, car elle donne les coordonnées du sommet \(S(-\frac{1}{2}, -\frac{243}{4})\) et le sens de variation.
• Question 3 : Vrai ou Faux sur les propriétés de la courbe. On vérifie l'ordonnée à l'origine en calculant \(f(0)\) (forme développée), le minimum de la fonction (ordonnée du sommet de la forme canonique), et l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x) \le 0\) (tableau de signes à partir des racines).

Exercice 3 : Problème d'optimisation

Ce problème concret de géométrie mène à l'étude d'une fonction du second degré pour optimiser une aire. C'est un exercice classique de modélisation.

• Question 1 : Mise en équation du problème. On exprime l'aire de la partie grisée, \(A(x)\), en fonction de \(x = AM\). L'aire est la somme de l'aire d'un rectangle et de celle d'un triangle. Le calcul de l'aire du triangle \(AMN\) nécessite l'utilisation du théorème de Thalès pour exprimer la hauteur \(MN\) en fonction de \(x\). On doit aboutir à l'expression \(A(x) = \frac{2}{5}x^2 - 3x + 30\).
• Question 2 : Minimisation de l'aire. L'aire \(A(x)\) est une fonction polynôme du second degré. Trouver la position du point \(M\) pour laquelle l'aire est minimale revient à trouver l'abscisse du sommet de la parabole, donnée par la formule \(x = -\frac{b}{2a}\). On étudie ensuite les variations de \(A\) sur son ensemble de définition.
• Question 3 : Résolution d'une condition sur l'aire. Pour trouver les positions de \(M\) pour lesquelles l'aire est égale à 25 cm², il faut résoudre l'équation du second degré \(A(x) = 25\), c'est-à-dire \(\frac{2}{5}x^2 - 3x + 5 = 0\).

Exercice 4 : Généralités sur les suites numériques

Cet exercice balaye de nombreuses compétences sur les suites : reconnaissance, calcul de termes, étude des variations et utilisation de la calculatrice.

• Question 1 : Identification de suites. La première suite est arithmétique, il faut trouver sa raison et son expression explicite. La seconde suite suit un motif qu'il faut identifier (\(u_n = (n+1)^2-1\)).
• Question 2 : Étude de deux suites. On travaille avec une suite définie explicitement, \(u_n = 2n^2 - 5\), et une autre définie par récurrence, \(v_{n+1} = 0,8v_n + 1,7\). Les questions portent sur :
• Le mode de définition (explicite vs. récurrence).
• Le calcul des premiers termes.
• La résolution de l'inéquation \(u_n > 157\) pour trouver un rang.
• La manipulation des expressions (\(u_{n+1}\), \(u_n+1\)).
• L'étude du sens de variation de la suite \((u_n)\) en étudiant le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\).
• L'utilisation des fonctions de la calculatrice pour générer les termes d'une suite récurrente et trouver un seuil.

En résumé, ce sujet de maths de première spécialité est un excellent test pour valider ses connaissances sur les polynômes et les suites. Chaque exercice est conçu pour évaluer une compétence spécifique, de la technique pure à la résolution de problèmes.