Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale spécialité est entièrement dédié au chapitre sur la fonction logarithme népérien (ln). Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et réviser en vue du baccalauréat. Le document, d'une durée de 2 heures, couvre en profondeur les compétences essentielles liées à ce chapitre, allant de la résolution d'équations et inéquations à des études de fonctions complètes, incluant la convexité et des applications plus théoriques. Ce contrôle corrigé permet aux élèves de s'évaluer sur leur maîtrise des propriétés algébriques du logarithme, des techniques de dérivation, de l'étude des limites et de la construction de tableaux de variations.

Exercice 1 : Maîtrise des propriétés et équations avec le logarithme

Cet exercice en 7 points est une série de questions indépendantes conçues pour tester les connaissances fondamentales et les techniques de calcul relatives à la fonction logarithme.

• Question 1 : Application du logarithme à une suite géométrique. Il est demandé de déterminer le rang à partir duquel les termes d'une suite géométrique \((u_n)\) de premier terme \(u_0=2025\) et de raison \(q = 1 - 10^{-10}\) deviennent inférieurs à 2024. La résolution de l'inéquation \(u_n < 2024\) mène à une inéquation de la forme \(n \ln(q) < \ln(2024/2025)\), nécessitant une bonne compréhension des propriétés du logarithme et du sens des inégalités.
• Question 2 : Simplification d'expressions logarithmiques. Il s'agit de simplifier l'expression \(4\ln(2\sqrt{2} + 1) + 4\ln(2\sqrt{2} - 1) - 5\ln(49)\) en utilisant les propriétés fondamentales telles que \(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\), \(\ln(a^n) = n\ln(a)\) et une identité remarquable.
• Question 3 : Vrai ou Faux sur une identité logarithmique. Cette question évalue la compréhension des propriétés du logarithme, notamment \(\ln(a/b)\) et \(\ln(a^n)\), mais aussi et surtout l'importance du domaine de définition. L'identité proposée est \(\ln\left(\frac{\sqrt{2x-3}}{(1-x)^2}\right) = \frac{1}{2}\ln(2x-3) - \ln(1-x)\) sur l'intervalle \(]\frac{3}{2}; +\infty[\), et la réponse dépend crucialement de la validité de chaque terme.
• Question 4 : Résolution d'équations et d'inéquations. Trois cas sont proposés :
  • a) Une équation exponentielle simple \(e^{4x-2} = 4\), qui se résout en appliquant la fonction logarithme.
  • b) Une équation avec des logarithmes : \(\ln(3-2x) - 2 = \ln(2x-1)\). La résolution passe par le regroupement des termes en \(\ln\) et l'utilisation de la propriété \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\), sans oublier la vérification de l'appartenance de la solution au domaine de définition.
  • c) Une inéquation plus complexe \(\ln(x) - \frac{1}{\ln(x)} > \frac{5}{2}\), qui se résout élégamment par un changement de variable \(X = \ln(x)\), menant à l'étude du signe d'un trinôme du second degré.
• Question 5 : Étude de l'ensemble de définition et des limites. Pour la fonction \(f: x \mapsto \frac{x\ln(x)}{1-\ln^2(x)}\), il faut déterminer son domaine de définition en posant les conditions \(x>0\) et \(1-\ln^2(x) \neq 0\). L'étude des limites aux bornes de ce domaine fait appel aux limites usuelles de la fonction \(\ln\) et aux théorèmes de croissance comparée, notamment pour la limite de \(x\ln(x)\) en \(0^+\).

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction logarithmique

Cet exercice en 6 points propose une étude de fonction guidée, un classique du baccalauréat. La fonction étudiée est \(f(x) = \ln\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)\).

• Question 1 : Détermination de l'ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\). Il faut résoudre l'inéquation \(\frac{2x+1}{1-2x} > 0\) à l'aide d'un tableau de signes.
• Question 2 : Étude de la parité de la fonction. Il s'agit de démontrer que \(f\) est une fonction impaire en montrant que pour tout \(x \in \mathcal{D}_f\), on a \(-x \in \mathcal{D}_f\) et \(f(-x) = -f(x)\).
• Question 3 : Étude des limites aux bornes de l'ensemble de définition, qui sont ici finies. Cela permet de déduire l'existence d'asymptotes verticales.
• Question 4 : Calcul de la dérivée et tableau de variations. Le calcul de \(f'(x)\) se fait en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée \((\ln u)' = u'/u\). L'étude du signe de la dérivée permet ensuite de dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
• Question 5 : Étude de la convexité. Cette question demande de calculer la dérivée seconde \(f''(x)\) et d'étudier son signe pour déterminer les intervalles où la fonction est convexe ou concave, ainsi que les éventuels points d'inflexion.

Exercice 3 : Inégalité de Jensen et fonction auxiliaire

Ce dernier exercice, également sur 7 points, est plus théorique et se divise en deux parties. Il s'agit d'utiliser une étude de fonction pour démontrer une inégalité, un type de problème fréquent et formateur.

• Partie A : L'étude se concentre sur la fonction \(f(x) = -x\ln(x) - (1-x)\ln(1-x)\), définie sur \([0;1]\).
  • Les premières questions portent sur la continuité et la dérivabilité en 0, mobilisant les limites par croissance comparée.
  • S'ensuit une étude de fonction classique : résolution d'une inéquation pour trouver le signe de la dérivée \(f'(x) = \ln(1-x) - \ln(x)\), puis construction du tableau de variations.
  • La fin de la partie A utilise cette étude pour établir un axe de symétrie pour la courbe et surtout pour démontrer l'inégalité \(a\ln(\frac{1}{a}) + b\ln(\frac{1}{b}) \le \ln(2)\) pour \(a,b > 0\) tels que \(a+b=1\), en montrant que l'expression est égale à \(f(a)\) et en utilisant le maximum de la fonction \(f\).
• Partie B : Cette partie propose une généralisation de l'inégalité. Elle commence par la démonstration de l'inégalité fondamentale \(\ln(t) \le t-1\), qui est une conséquence de la concavité de la fonction logarithme. Cette inégalité est ensuite utilisée pour démontrer que \(\sum_{k=1}^p a_k \ln(\frac{1}{a_k}) \le \ln(p)\) pour des réels positifs \(a_k\) de somme 1, connue sous le nom d'inégalité de Jensen pour la fonction entropie.

En somme, ce sujet de Terminale sur le logarithme est un excellent outil de préparation, balayant un large spectre de compétences, des plus calculatoires aux plus conceptuelles, et constitue un défi complet pour tout élève visant l'excellence en spécialité mathématiques.