Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Première spécialité est dédié au chapitre sur les généralités sur les suites numériques. D'une durée d'une heure, il balaye les compétences essentielles de ce chapitre d'introduction : calcul des premiers termes, sens de variation, représentation graphique, et algorithmique. C'est un excellent sujet pour s'entraîner et valider ses connaissances avant une évaluation. Retrouvez une analyse détaillée de chaque exercice de ce sujet de maths.

Exercice 1 : Rappels sur les identités remarquables

Cet exercice sert d'échauffement en révisant des notions fondamentales d'algèbre vues en Seconde. La maîtrise du calcul littéral est indispensable pour aborder sereinement le chapitre sur les suites.

• Développement : Il est demandé de développer deux expressions en utilisant les identités remarquables. La première, \(A = (3x - 2)^2\), utilise la formule \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). La seconde, \(B = (\frac{9}{7}x - 8)(\frac{9}{7}x + 8)\), fait appel à la formule \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
• Factorisation : La deuxième question porte sur la factorisation, l'opération inverse du développement. L'expression \(C = 4x^2 - 9\) est une différence de deux carrés. Les expressions \(D = 4x^2 - 10x + 25\) et \(E = 64x^2 - 80x + 25\) sont à analyser pour voir si elles correspondent à un carré parfait. On remarque que \(E = (8x-5)^2\).

Exercice 2 : Étude d'une suite explicite

Cet exercice aborde l'étude complète d'une suite définie par une formule explicite \(u_n = \frac{n}{n+1}\). Ce type de suite permet de calculer n'importe quel terme directement à partir de son rang \(n\).

1. Calcul des premiers termes : Il faut calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\) en remplaçant simplement \(n\) par 0, 1 et 2 dans la formule. On obtient \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1/2\), \(u_2 = 2/3\).
2. Conjecture sur le sens de variation : En observant les premiers termes (0, 0.5, 0.66...), on peut supposer que la suite \((u_n)\) est croissante.
3. Démonstration du sens de variation : Pour prouver cette conjecture, la méthode la plus courante est d'étudier le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\). Après calcul, on trouve que \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+2)(n+1)}\). Comme \(n\) est un entier naturel, cette expression est toujours positive. La suite \((u_n)\) est donc bien strictement croissante.

Exercice 3 : Suite récurrente et algorithmique

Cet exercice porte sur une suite définie par récurrence, où chaque terme est calculé à partir du précédent. La thématique de l'algorithmique en Python est également abordée. La suite est définie par \(v_0 = 4\) et \(v_{n+1} = 3 - 2v_n\).

1. Calcul des termes : On demande de calculer \(v_1\) et \(v_2\) en appliquant la formule de récurrence à partir de \(v_0\).
2. Algorithme Python : Il faut compléter un programme Python pour qu'il calcule et affiche la valeur de \(v_{20}\). Cela implique d'initialiser une variable avec la valeur de \(v_0\), puis d'utiliser une boucle `for` pour répéter 20 fois le calcul du terme suivant à partir du terme courant.

Exercice 4 : Étude du sens de variation d'une suite récurrente

Un autre exercice sur les suites récurrentes, avec une relation de la forme \(v_{n+1} = v_n + f(n)\). La suite est définie par \(v_0 = 3\) et \(v_{n+1} = v_n + 2n - 7\).

1. Calculs de termes : Il s'agit de vérifier la valeur de \(v_1\) puis de calculer les deux termes suivants, \(v_2\) et \(v_3\).
2. Sens de variation : Pour déterminer le sens de variation, on étudie le signe de la différence \(v_{n+1} - v_n\). Ici, la différence est directement donnée par la relation de récurrence : \(v_{n+1} - v_n = 2n - 7\). Le signe de cette expression dépend de la valeur de \(n\). La suite n'est donc pas monotone : elle est décroissante au début, puis devient croissante.

Exercice 5 : Modélisation et étude graphique d'une suite

Cet exercice est un problème concret de modélisation utilisant une suite arithmético-géométrique. Il s'agit d'étudier l'évolution d'une population de bactéries.

1. Mise en équation et calculs : À partir de l'énoncé (augmentation de 50% puis retrait de 30g), on doit établir la relation de récurrence \(P_{n+1} = 1,5 \times P_n - 30\), avec \(P_0 = 80\). On calcule ensuite les termes \(P_1\) et \(P_2\) et on interprète leur signification dans le contexte du problème.
2. Représentation graphique : L'exercice guide l'élève pour représenter graphiquement les premiers termes de la suite \((P_n)\) en utilisant la courbe de la fonction associée \(f(x) = 1,5x - 30\) et la droite d'équation \(y=x\). Cette méthode, dite de la construction en "escargot" ou en "toile d'araignée", est un classique de l'étude des suites récurrentes.
3. Conjecture de la limite : La construction graphique permet de visualiser le comportement de la suite à long terme. On peut ainsi conjecturer sa limite (si elle existe), qui correspond à l'abscisse du point d'intersection entre la courbe et la droite \(y=x\).