Ce contrôle de mathématiques pour la Première spécialité, d'une durée d'une heure, est une évaluation complète sur le chapitre des suites numériques. Il aborde les suites arithmétiques, les suites géométriques et un cas plus complexe, les suites arithmético-géométriques. Le sujet inclut également des questions d'algorithmique en Python, faisant le lien entre les concepts mathématiques et leur implémentation informatique. C'est un excellent sujet pour réviser et s'entraîner en vue du baccalauréat.

Exercice 1 : Reconnaissance et utilisation d'une suite arithmétique (7 points)

Cet exercice met en place une situation concrète de construction de figures à l'aide de tiges et de billes. Le nombre de tiges utilisées à chaque étape \( n \) forme une suite \( (t_n) \).

• 1. Calcul des premiers termes : La première question demande de calculer les quatre premiers termes de la suite \( (t_n) \) en se basant sur les schémas fournis. On trouve \( t_1 = 3, t_2 = 5, t_3 = 7, t_4 = 9 \).
• 2. Nature de la suite : Il s'agit ensuite d'identifier la nature de la suite. En observant que l'on ajoute 2 tiges à chaque étape, on conclut que \( (t_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r = 2 \) et de premier terme \( t_1 = 3 \).
• 3. Forme explicite : La question suivante consiste à exprimer le terme général \( t_n \) en fonction de \( n \). En utilisant la formule du cours pour les suites arithmétiques, \( t_n = t_1 + (n-1)r \), on obtient \( t_n = 3 + (n-1) \times 2 = 2n + 1 \).
• 4. Application et somme : L'exercice se termine par des applications directes des formules :
  • a. Trouver le rang \( n \) pour lequel on utilise 625 tiges, ce qui revient à résoudre l'équation \( 2n + 1 = 625 \).
  • b. Calculer la somme totale des tiges utilisées jusqu'à ce rang, en appliquant la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique : \( S_n = n \times \frac{t_1 + t_n}{2} \).

Exercice 2 : Étude complète d'une suite arithmético-géométrique (9 points)

L'exercice 2 se concentre sur une suite \( (u_n) \) définie par récurrence par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n - 3 \). Ce type de suite est un classique du programme de Première, connu sous le nom de suite arithmético-géométrique.

• 1. Calculs initiaux : On commence par calculer les premiers termes \( u_1, u_2, u_3 \) pour se familiariser avec la suite.
• 2. Algorithmique : Une question de programmation demande de compléter une fonction Python qui, pour un entier \( n \) donné, calcule et renvoie la valeur de \( u_n \). Cela teste la capacité à traduire une relation de récurrence en un algorithme itératif.
• 3. Conjecture avec un tableur : L'exercice guide ensuite vers l'utilisation d'un tableur pour visualiser un grand nombre de termes. À partir du tableau de valeurs, il faut conjecturer le sens de variation (la suite semble décroissante) et la limite de la suite (elle semble tendre vers -6).
• 4. Étude via une suite auxiliaire : C'est le cœur de l'exercice. On introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n + 6 \).
  • a. On calcule son premier terme \( v_0 \).
  • b. On démontre que \( (v_n) \) est une suite géométrique en montrant que \( v_{n+1} = q \times v_n \). Ici, on trouve une raison \( q = \frac{1}{2} \).
  • c. On utilise la nature géométrique de \( (v_n) \) pour trouver sa forme explicite \( v_n = v_0 \times q^n \). On en déduit ensuite la forme explicite de \( (u_n) \) : \( u_n = v_n - 6 = 8 \times (\frac{1}{2})^n - 6 \).
  • d. Finalement, on utilise la forme explicite ou la différence \( u_{n+1} - u_n \) pour démontrer rigoureusement le sens de variation de la suite \( (u_n) \), validant ainsi la conjecture émise précédemment.

Exercice 3 : Somme des termes d'une suite géométrique (4 points)

Ce dernier exercice est un problème de calcul de somme. Il faut calculer la valeur exacte de \( S = 16 + 8 + 4 + 2 + \dots + \frac{1}{262144} \).

• 1. Calcul de la somme : La première étape consiste à reconnaître que les termes de la somme sont les termes consécutifs d'une suite géométrique. Il faut identifier le premier terme \( u_0 = 16 \) et la raison \( q = \frac{1}{2} \). L'étape cruciale est ensuite de déterminer le nombre total de termes dans la somme avant d'appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : \( S = u_0 \times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q} \).
• 2. Algorithmique : La seconde question demande de compléter une fonction Python qui calcule cette somme à l'aide d'une boucle `while`. Cela permet de vérifier la compréhension de l'itération et de l'accumulation d'une somme en programmation.

En résumé, ce sujet de contrôle sur les suites pour la classe de Première spécialité est très complet. Il évalue la maîtrise des suites arithmétiques et géométriques (terme général, somme), la méthode d'étude des suites arithmético-géométriques, et la capacité à utiliser des outils numériques (tableur, Python) pour explorer et valider des conjectures mathématiques. Un excellent entraînement pour tout élève souhaitant consolider ses bases sur ce chapitre fondamental.