Découvrez le corrigé complet de ce contrôle de mathématiques pour la classe de Première spécialité, portant sur le chapitre des suites arithmétiques et géométriques. Ce sujet, d'une durée d'une heure, couvre tous les aspects essentiels du programme : modélisation de situation, calcul de termes et de sommes, détermination de la raison et du premier terme, et étude approfondie d'une suite arithmético-géométrique. Ce corrigé détaillé vous aidera à comprendre les méthodes de résolution pas à pas et à maîtriser les compétences clés pour réussir vos évaluations.

Exercice 1 : Modélisation avec une suite géométrique (Intérêts composés)

Cet exercice est un grand classique d'application des suites géométriques à une situation financière. On étudie l'évolution d'un capital de 5 000 € placé sur un livret à un taux d'intérêt annuel de 2,5%. La suite \( (u_n) \) modélise le montant sur le compte après \( n \) années.

• 1) Calculer \( u_1, u_2 \) et \( u_3 \) : Pour calculer le terme suivant à partir du précédent, il faut appliquer l'augmentation de 2,5%. Le coefficient multiplicateur est donc \( 1 + \frac{2.5}{100} = 1.025 \). On a :
  \( u_1 = u_0 \times 1.025 = 5000 \times 1.025 = 5125 \) €
  \( u_2 = u_1 \times 1.025 = 5125 \times 1.025 \approx 5253.13 \) €
  \( u_3 = u_2 \times 1.025 \approx 5253.13 \times 1.025 \approx 5384.45 \) €
• 2) Nature de la suite \( (u_n) \) : Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre, 1.025. La suite \( (u_n) \) est donc une suite géométrique de premier terme \( u_0 = 5000 \) et de raison \( q = 1.025 \).
• 3) Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \) : La formule explicite d'une suite géométrique est \( u_n = u_0 \times q^n \). En remplaçant par les valeurs de l'exercice, on obtient : \( u_n = 5000 \times 1.025^n \).
• 4) Somme disponible au bout de 10 ans : Il suffit de calculer \( u_{10} \) en utilisant la formule précédente : \( u_{10} = 5000 \times 1.025^{10} \approx 6400.42 \) €.
• 5) Doubler son capital : On cherche le nombre d'années \( n \) tel que le capital soit au moins le double du capital de départ, c'est-à-dire \( u_n \ge 10000 \). L'inéquation à résoudre est \( 5000 \times 1.025^n \ge 10000 \), ce qui se simplifie en \( 1.025^n \ge 2 \). À l'aide de la fonction logarithme (ou en testant des valeurs sur la calculatrice), on trouve que \( n \ge \frac{\ln(2)}{\ln(1.025)} \approx 28.07 \). Il faudra donc attendre 29 ans pour que le capital ait doublé.

Exercice 2 : Maîtrise de la suite arithmétique

Cet exercice se concentre sur les propriétés fondamentales des suites arithmétiques. On nous donne deux termes de la suite, \( u_7 = 5 \) et \( u_{13} = 17 \), et il faut en déduire ses caractéristiques principales.

• 1) Déterminer la raison \( r \) et le premier terme \( u_0 \) : On utilise la relation entre deux termes d'une suite arithmétique : \( u_p = u_k + (p-k)r \). Ici, \( u_{13} = u_7 + (13-7)r \), soit \( 17 = 5 + 6r \). On en déduit \( 6r = 12 \) et donc la raison \( r = 2 \). Pour trouver \( u_0 \), on part de \( u_7 \): \( u_7 = u_0 + 7r \), soit \( 5 = u_0 + 7 \times 2 \). Ainsi, \( u_0 = 5 - 14 = -9 \).
• 2) Calculer la somme \( S_{19} \) : On demande de calculer \( S_{19} = u_0 + u_1 + \dots + u_{19} \). Le nombre de termes est \( 19 - 0 + 1 = 20 \). La formule de la somme des termes est \( S = \frac{\text{nb de termes} \times (u_0 + u_{19})}{2} \). On calcule d'abord \( u_{19} = u_0 + 19r = -9 + 19 \times 2 = 29 \). La somme est donc \( S_{19} = \frac{20 \times (-9 + 29)}{2} = \frac{20 \times 20}{2} = 200 \).
• 3) Déterminer \( n \) pour une somme donnée : On cherche \( n \) tel que \( S_n = u_0 + \dots + u_n = 1131 \). La formule de la somme est \( S_n = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2} \). On exprime \( u_n \) en fonction de \( n \): \( u_n = -9 + 2n \). L'équation devient \( 1131 = \frac{(n+1)(-9 + (-9+2n))}{2} \), soit \( 2262 = (n+1)(2n-18) \). En développant, on obtient une équation du second degré : \( 2n^2 - 16n - 2280 = 0 \), ou \( n^2 - 8n - 1140 = 0 \). La résolution de cette équation donne une solution entière positive pour \( n \), qui est le rang recherché.

Exercice 3 : Étude complète d'une suite arithmético-géométrique

Cet exercice, plus complexe, aborde l'étude d'une suite définie par récurrence qui n'est ni arithmétique, ni géométrique : une suite arithmético-géométrique. On utilise une approche à la fois graphique et analytique pour déterminer son comportement.

• 1) Premiers termes et justification : Avec \( u_0 = 6 \) et \( u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n + 1 \), on calcule \( u_1 = \frac{2}{3}(6) + 1 = 5 \) et \( u_2 = \frac{2}{3}(5) + 1 = \frac{13}{3} \). On montre que \( u_1-u_0 = -1 \) et \( u_2-u_1 = -\frac{2}{3} \), donc la suite n'est pas arithmétique. De même, \( \frac{u_1}{u_0} = \frac{5}{6} \) et \( \frac{u_2}{u_1} = \frac{13}{15} \), donc elle n'est pas géométrique.
• 2) Représentation graphique et conjectures : On trace les droites d'équation \( y = \frac{2}{3}x + 1 \) et la première bissectrice \( y = x \). En partant de \( u_0=6 \) sur l'axe des abscisses, on construit les termes \( u_1, u_2, u_3 \) en "escalier". Graphiquement, on conjecture que la suite \( (u_n) \) est décroissante et qu'elle converge vers 3, l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
• 3) Étude par une suite auxiliaire \( (v_n) \) : C'est la méthode standard pour ce type de suite. On pose \( v_n = u_n - 3 \).
  a. On montre que \( (v_n) \) est géométrique : \( v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = (\frac{2}{3}u_n + 1) - 3 = \frac{2}{3}u_n - 2 = \frac{2}{3}(u_n - 3) = \frac{2}{3}v_n \). C'est une suite géométrique de raison \( q = \frac{2}{3} \). Son premier terme est \( v_0 = u_0 - 3 = 6 - 3 = 3 \).
  b. On exprime \( v_n \) puis \( u_n \) en fonction de \( n \). On a \( v_n = v_0 \times q^n = 3 \times (\frac{2}{3})^n \). Comme \( u_n = v_n + 3 \), on en déduit la forme explicite : \( u_n = 3 \times (\frac{2}{3})^n + 3 \).
  c. On peut alors étudier les variations et la limite. Comme la raison \( q = \frac{2}{3} \) est comprise entre 0 et 1 et que \( v_0 > 0 \), la suite \( (v_n) \) est décroissante et tend vers 0. Par conséquent, la suite \( (u_n) \) est également décroissante et sa limite est \( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (v_n + 3) = 0 + 3 = 3 \), ce qui confirme les conjectures.

Ce sujet de contrôle est un excellent entraînement pour la spécialité mathématiques de Première. Il balaye les compétences essentielles sur les suites numériques, depuis les calculs de base jusqu'à la modélisation et l'étude de suites plus complexes.