Analyse et Corrigé du Contrôle de Mathématiques - Première Spécialité
Ce document propose une analyse détaillée et le corrigé d'un sujet de mathématiques pour le niveau Première Spécialité. Le contrôle, d'une durée de 2 heures, évalue les compétences des élèves sur trois chapitres fondamentaux du programme : les généralités sur les suites, la dérivation globale et les probabilités conditionnelles. Chaque exercice est conçu pour tester à la fois la maîtrise des outils de calcul et la capacité de raisonnement.
Exercice 1 : Suite récurrente linéaire d'ordre 2
Cet exercice se concentre sur l'étude d'une suite `(u_n)` définie par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 : `u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n`. La résolution de ce type de suite est un classique du programme de spécialité.
- Question 1 : La première étape consiste à factoriser le polynôme caractéristique associé à la suite, `P(x) = x^2 - 6x + 8`. Cette factorisation est essentielle pour la suite de l'exercice.
- Question 2 : On introduit deux suites auxiliaires, `(v_n)` et `(w_n)`, définies par `v_n = u_{n+1} - a u_n` et `w_n = u_{n+1} - b u_n`. L'objectif est de démontrer que ces suites sont géométriques en choisissant judicieusement les valeurs de `a` et `b` (qui sont les racines du polynôme précédent).
- Question 3 & 4 : Une fois le caractère géométrique des suites auxiliaires établi, il est demandé de trouver leur forme explicite. En combinant les expressions de `v_n` et `w_n`, on en déduit l'expression explicite du terme général `u_n`, finalisant ainsi l'étude.
Exercice 2 : Somme des premiers entiers et de leurs carrés
Cet exercice, plus théorique, guide l'élève pour retrouver les formules des sommes des `n` premiers entiers `S_1` et des `n` premiers carrés `S_2`. La méthode utilisée, basée sur les sommes télescopiques de polynômes, est très formatrice.
- Partie 1 : On s'intéresse à la somme `S_1 = \sum_{k=1}^{n} k`. Pour cela, on utilise un polynôme du second degré `P(x) = ax^2 + bx + c` et on cherche les coefficients `a, b, c` tels que `P(x+1) - P(x) = x`. En sommant cette égalité, on obtient une somme télescopique qui permet d'isoler `S_1` et de retrouver sa formule bien connue.
- Partie 2 : La même méthode est appliquée pour la somme des carrés `S_2 = \sum_{k=1}^{n} k^2`, mais en utilisant cette fois un polynôme du troisième degré `Q(x)`. Cet exercice met en lumière un lien puissant entre les polynômes et les sommes de puissances d'entiers.
Exercice 3 : Algorithme et Nombre Dérivé
Court mais technique, cet exercice fait le lien entre l'analyse et l'algorithmique. Il est demandé d'écrire une fonction en langage Python, `nb_derive_trinome`, qui prend en entrée les coefficients `a, b, c` d'un trinôme `f(x) = ax^2 + bx + c` et un réel `x_0`, et qui retourne le nombre dérivé `f'(x_0)`. Cela suppose de connaître la formule de la dérivée d'une fonction polynôme et de la traduire en code.
Exercice 4 : Étude de fonction avec fonction auxiliaire
Cet exercice est un grand classique de l'analyse en Première : l'étude complète des variations d'une fonction rationnelle.
- Partie A : On étudie d'abord une fonction auxiliaire `g(x) = x^3 + 3x - 4`. En calculant sa dérivée et en dressant son tableau de variation, on détermine le signe de `g(x)` sur `\mathbb{R}`.
- Partie B : L'étude de la fonction `f(x) = \frac{-2x^3 + 4x^2}{x^2 + 1}` peut alors commencer. Le calcul de la dérivée `f'(x)` via la formule de dérivation d'un quotient fait apparaître la fonction `g(x)`. Le signe de `f'(x)` dépend donc directement du signe de `g(x)` trouvé précédemment, ce qui permet de déduire le tableau de variation complet de `f`.
Exercice 5 : Probabilités Conditionnelles et Marche Aléatoire
Le dernier exercice aborde les probabilités conditionnelles à travers une situation de marche aléatoire d'une fourmi. C'est un excellent moyen de tester la compréhension des concepts clés de ce chapitre.
- Question 1 : La première étape est de modéliser la situation. L'outil le plus adapté est un arbre de probabilités pondéré, qui doit représenter les 3 premiers déplacements de la fourmi en tenant compte des probabilités conditionnelles données (la probabilité d'un déplacement dépend du déplacement précédent).
- Question 2 : En utilisant l'arbre, il faut ensuite calculer la probabilité d'un événement complexe : que la fourmi sorte du quadrillage. Cela implique d'identifier les chemins (séquences de déplacements) qui mènent à cet événement, de calculer la probabilité de chaque chemin en utilisant la règle de l'intersection de probabilités sur un arbre, puis de sommer les probabilités des chemins disjoints.