Découvrez notre sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la classe de Première (spécialité maths), accompagné de son analyse détaillée. Ce sujet, d'une durée de 2 heures, est idéal pour s'entraîner aux épreuves anticipées et réviser des chapitres clés du programme : les automatismes, les probabilités conditionnelles, les suites numériques et les polynômes du second degré.

Ce contrôle corrigé est conçu pour évaluer une large gamme de compétences, de la rapidité de calcul à la justification rigoureuse. La calculatrice est interdite, ce qui met l'accent sur la maîtrise du calcul mental et des techniques algébriques.

Première partie – Automatismes (6 points)

Cette première partie est un QCM rapide qui vise à tester les réflexes et les connaissances fondamentales des élèves sur divers sujets. Aucune justification n'est requise, seule la justesse du résultat compte. Les compétences évaluées incluent :

• Pourcentages et évolutions : Calculer une baisse de prix (question 1), un taux d'évolution (question 2), et un taux d'évolution global après des variations successives (question 3).
• Calculs élémentaires : Additionner des fractions comme \( \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \) (question 4).
• Équations et expressions algébriques : Résoudre une équation produit-nul telle que \( (3x + 6)(x - 2) = 0 \) (question 5) et développer une identité remarquable comme \( (x + 4)^2 \) (question 6).
• Lecture graphique : Résoudre graphiquement une équation du type \( g(x) = 1 \) (question 7) et une inéquation \( g(x) \le 1 \) (question 8) à partir de la courbe représentative d'une fonction.
• Géométrie analytique : Déterminer le coefficient directeur d'une droite passant par deux points A(1; 3) et B(4; 9) (question 9).
• Statistiques et probabilités : Trouver la médiane d'une série statistique (question 10), résoudre un problème simple de dénombrement (question 11) et appliquer la formule de la probabilité conditionnelle \( P_A(B) \) (question 12).

Exercice 1 – Les pass du festival (6 points)

Cet exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles. Il se base sur une situation concrète (un festival de musique) pour évaluer la capacité des élèves à organiser des données, à calculer des probabilités et à interpréter les résultats. L'énoncé fournit des effectifs qu'il faut traduire en probabilités.

Les questions abordent les points suivants :

• Organisation des données : Compléter un tableau croisé d'effectifs (tableau à double entrée) pour synthétiser les informations sur les festivaliers (question 1).
• Calcul de probabilités simples et d'événements contraires : Calculer \( P(T) \) et \( P(\bar{C}) \) (question 2).
• Probabilité d'une intersection : Décrire et calculer la probabilité de l'événement \( T \cap C \), c'est-à-dire la probabilité qu'un festivalier ait un pass 3 jours ET dorme au camping (question 3).
• Probabilités conditionnelles : Calculer et distinguer \( P_T(C) \) (la probabilité de dormir au camping sachant qu'on a un pass 3 jours) et \( P_C(T) \) (la probabilité d'avoir un pass 3 jours sachant qu'on dort au camping). Cette question est cruciale pour vérifier la compréhension de la notion de conditionnement (question 4).
• Indépendance d'événements : Justifier si les événements T et C sont indépendants, en comparant par exemple \( P(T \cap C) \) avec le produit \( P(T) \times P(C) \) (question 5).
• Application des probabilités conditionnelles : Calculer la probabilité qu'un festivalier ait un pass 1 jour sachant qu'il n'a pas dormi au camping, ce qui correspond à calculer \( P(\bar{T}|\bar{C}) \) (question 6).

Exercice 2 – Les visiteurs du parc animalier (8 points)

Ce second exercice, plus long, est un problème de modélisation qui combine les suites numériques et l'étude de fonctions polynômes du second degré. Il propose deux modèles différents pour prévoir la fréquentation d'un parc animalier.

Partie A – Le modèle de la mairie

Cette partie s'intéresse à un modèle de croissance linéaire, qui se traduit par une suite arithmétique.

• Termes d'une suite : Calculer les premiers termes \( a(1) \) et \( a(2) \) (question 1).
• Nature d'une suite : Exprimer \( a(n+1) \) en fonction de \( a(n) \) pour démontrer que la suite est arithmétique et préciser sa raison (question 2).
• Forme explicite : Déterminer l'expression de \( a(n) \) en fonction de \( n \) (question 3).
• Résolution d'inéquation : Trouver à partir de quelle année le nombre de visiteurs dépassera un certain seuil, ce qui revient à résoudre une inéquation (question 4).

Partie B – Le modèle de l'agence

Cette partie introduit un modèle quadratique, représenté par une fonction polynôme du second degré : \( v(n) = -100n^2 + 1500n + 20000 \).

• Calcul d'images : Calculer des termes spécifiques de la suite pour observer une symétrie (question 5).
• Extremum d'une fonction : Utiliser la symétrie de la parabole pour trouver son sommet et ainsi déterminer l'année de fréquentation maximale (question 6). C'est une application directe de la recherche du maximum d'un polynôme du second degré.
• Position relative : Comparer les deux modèles en calculant la différence \( v(n) - a(n) \) et en la simplifiant pour obtenir \( 100n(10-n) \) (question 7).
• Étude de signe : Étudier le signe du polynôme du second degré \( 100n(10-n) \) pour déterminer sur quelle période le modèle de l'agence prévoit plus de visiteurs que celui de la mairie. Ceci correspond à l'étude de la position relative des deux courbes (question 8).

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