Ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Première (spécialité maths) est centré sur le chapitre des probabilités conditionnelles. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue en profondeur la maîtrise des concepts fondamentaux à travers trois exercices progressifs. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser, en abordant des thèmes variés comme les arbres pondérés, l'indépendance d'événements, la loi binomiale, et la distinction essentielle entre fréquence et probabilité.

Ce contrôle corrigé permet de valider des compétences clés du programme de Première, notamment la modélisation de situations aléatoires et le calcul rigoureux de probabilités.

Exercice 1 - Croix ou pile : l'erreur de d'Alembert

Cet exercice classique revisite une erreur historique du mathématicien d'Alembert pour construire une compréhension solide de l'équiprobabilité et des expériences successives. Il se décompose en plusieurs étapes :

• Modélisation par arbre pondéré : La première question demande de représenter deux lancers d'une pièce équilibrée à l'aide d'un arbre pondéré. Chaque branche a une probabilité de \( \frac{1}{2} \). C'est une compétence de base pour visualiser une succession d'épreuves indépendantes.
• Calcul de probabilités simples : Il faut ensuite calculer la probabilité d'obtenir deux fois "croix" (\( P(C \cap C) \)) en multipliant les probabilités le long du chemin correspondant, puis la probabilité d'obtenir "au moins une fois croix". Cette dernière se calcule plus facilement en utilisant l'événement contraire : \( 1 - P(\text{obtenir deux fois pile}) = 1 - P(P \cap P) \).
• Analyse d'erreur : L'exercice invite à une réflexion critique sur le raisonnement de d'Alembert, qui considérait à tort trois issues équiprobables. L'analyse correcte montre qu'il y a quatre issues équiprobables : CC, CP, PC, PP.
• Schéma de Bernoulli : L'exercice s'étend à trois lancers, introduisant implicitement la notion de schéma de Bernoulli. Il faut compléter un arbre à \( 2^3=8 \) issues et calculer la probabilité d'événements comme "obtenir exactement deux fois croix". Cela correspond au calcul de \( P(X=2) \) où \( X \) suit une loi binomiale \( \mathcal{B}(3, \frac{1}{2}) \).
• Cas d'une pièce déséquilibrée : La dernière question généralise le problème à une pièce non équilibrée (probabilité de "croix" de \( 0,6 \)). Les élèves doivent appliquer les mêmes méthodes dans le cadre d'une loi binomiale \( \mathcal{B}(3, 0.6) \) pour calculer \( P(X=3) \) et \( P(X=1) \).

Exercice 2 - Le dé du stand de kermesse

Structuré sous forme de "Vrai ou Faux" argumenté, cet exercice balaie plusieurs concepts clés des probabilités conditionnelles et de l'indépendance.

• Probabilité conditionnelle : L'affirmation 1 teste le calcul de \( P_A(B) \), la probabilité de B sachant A. La formule \( P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) doit être maîtrisée.
• Indépendance d'événements : Les affirmations 2 et 3 demandent de vérifier si deux événements sont indépendants. Il faut pour cela comparer \( P(A \cap B) \) avec le produit \( P(A) \times P(B) \). C'est une application directe de la définition de l'indépendance.
• Tableau à double entrée et probabilités : La deuxième partie de l'exercice présente une situation avec 200 joueurs. Pour répondre aux affirmations 4 et 5, il est très utile de synthétiser les données dans un tableau de contingence (ou tableau à double entrée) croisant les catégories "Enfant/Adulte" et "Gagnant/Perdant".
• Comparaison de probabilités conditionnelles : L'affirmation 4 demande de comparer la probabilité de gagner pour un enfant (\( P_E(G) \)) et pour un adulte (\( P_{\bar{E}}(G) \)). L'affirmation 5 met en garde contre la confusion fréquente entre \( P_G(E) \) et \( P_E(G) \).
• Fréquence vs. Probabilité : La dernière question aborde un point épistémologique fondamental : la distinction entre la fréquence d'un événement observée sur un échantillon (ici, 14 succès sur 60 lancers) et sa probabilité théorique.

Exercice 3 - Quatre tirs au but

Cet exercice est une application directe et complète du modèle de la loi binomiale, dans un contexte de tirs au but au handball.

• Justification du schéma de Bernoulli : La première question est une question de cours déguisée : il faut expliquer pourquoi la situation correspond à la répétition de 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et donc peut être modélisée par une loi binomiale \( \mathcal{B}(4, 0.8) \).
• Calculs de probabilités binomiales : Les questions suivantes sont des applications de cette loi :
  • Calculer la probabilité de 4 succès : \( P(X=4) = 0,8^4 \).
  • Calculer la probabilité de 3 succès : il faut ici utiliser le coefficient binomial pour compter le nombre de scénarios possibles (\( \binom{4}{3} \)) et calculer \( P(X=3) = \binom{4}{3} \times 0,8^3 \times (1-0,8)^1 \).
  • Calculer la probabilité d'au moins un succès : \( P(X \geq 1) \), en utilisant une nouvelle fois l'événement contraire, bien plus simple à calculer : \( 1 - P(X=0) = 1 - 0,2^4 \).

En conclusion, ce sujet de maths pour la Première est un excellent outil de révision qui couvre l'essentiel du chapitre des probabilités, de la construction d'arbres à l'application de la loi binomiale, en passant par les concepts cruciaux d'indépendance et de probabilité conditionnelle.