Exercice 1 : Loyers, moyennes et carrés (réponses courtes)

Ce premier exercice est une série de questions rapides conçues pour tester des connaissances de base, allant des pourcentages aux définitions fondamentales des suites. Chaque question, notée sur 0,5 point, ne requiert pas de justification détaillée.

• Question 1 & 2 : Pourcentages. La première question aborde les évolutions successives, demandant de trouver le taux d'évolution réciproque après une baisse de 60%. La seconde question traite des pourcentages de pourcentages, un classique pour vérifier la compréhension des proportions.
• Question 3 : Suite géométrique. En partant d'une augmentation annuelle de loyer de 2%, il faut identifier la raison de la suite géométrique correspondante. C'est une application directe de la formule \(u_{n+1} = q \times u_n\).
• Question 4 : Moyenne géométrique. Une question de calcul direct demandant la moyenne géométrique de deux nombres, 4 et 9, définie par \(\sqrt{ab}\).
• Question 5 : Suite arithmétique. Il est demandé de trouver le terme manquant \(x\) pour que \(7, x, 19\) soient trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Cela revient à appliquer la propriété que le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux autres : \(x = \frac{7+19}{2}\).
• Question 6 : Somme des carrés. Un calcul de somme utilisant le symbole Sigma : \(\sum_{k=1}^{4} k^2\). Il s'agit de calculer \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2\).

Exercice 2 : Deux gîtes, deux grilles de prix (problème concret)

Cet exercice central, noté sur 9 points, est un problème concret qui met en scène la comparaison de deux modèles tarifaires pour des gîtes. L'un suit une progression arithmétique, l'autre une progression géométrique. C'est un excellent moyen d'évaluer la capacité à modéliser une situation réelle avec des suites numériques.

On note \((a_n)\) le prix de la \(n\)-ième nuit au gîte des Genêts et \((m_n)\) celui au gîte du Moulin.

• Gîte des Genêts : Le prix de la première nuit est \(a_1 = 92\) €, et chaque nuit suivante coûte 4 € de moins. C'est le cas typique d'une suite arithmétique de raison \(r = -4\). La première question demande de calculer les premiers termes et de justifier la nature de la suite.
• Gîte du Moulin : Les prix des premières nuits sont 100 €, 90 €, 81 €... Il est indiqué que chaque nuit coûte 10% de moins que la précédente. Il s'agit donc d'une suite géométrique de raison \(q = 1 - \frac{10}{100} = 0,9\). La deuxième question demande de le prouver et de vérifier que ces termes ne peuvent appartenir à une suite arithmétique.
• Formules et calculs : La question 3 exige de trouver la forme explicite de la suite arithmétique \((a_n)\) en fonction de \(n\), puis de l'utiliser pour calculer le prix de la douzième nuit, \(a_{12}\).
• Somme des termes : Pour un séjour de 10 nuits, la question 4 demande de calculer le coût total au gîte des Genêts. Il faut comprendre que ce coût est la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique, l'écrire avec le symbole \(\sum\) et la calculer en utilisant la formule de la somme : \(S_n = n \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\).
• Comparaison et prise de décision : Les dernières questions (5 et 6) amènent à une comparaison fine des deux offres. Il faut calculer des termes de la suite \((m_n)\) et comparer les coûts par nuit, puis les coûts totaux pour des séjours de différentes durées afin de conseiller la famille. Cela mobilise toutes les compétences précédentes dans un but de résolution de problème.

Exercice 3 : Une suite qui monte de 3, une suite qui double (exercices d'application)

Ce dernier exercice sur 8 points revient à des cas d'école pour vérifier la maîtrise des formules et des calculs sur les suites arithmétiques et géométriques, sans contexte particulier.

• Partie 1 : Suite arithmétique. On étudie une suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0 = 4\) et sa raison \(r=3\).
  • a. Il faut donner son expression explicite \(u_n = u_0 + n \times r\) et calculer \(u_{20}\).
  • b. Il est demandé de calculer la somme des termes de \(u_0\) à \(u_{20}\), \(S = \sum_{k=0}^{20} u_k\). Une attention particulière est portée au nombre de termes dans la somme (21 termes).
• Partie 2 : Suite géométrique. On s'intéresse à une suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 5\) et de raison \(q=2\).
  • a. De même, il faut trouver la forme explicite \(v_n = v_0 \times q^n\) et calculer \(v_6\).
  • b. Le calcul de la somme des 6 premiers termes \(T = \sum_{k=0}^{5} v_k\) est requis, en utilisant la formule \(S_n = \text{premier terme} \times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\).
• Partie 3 : Reconnaissance et calcul de somme. On donne une somme \(R = 1 + 3 + 9 + 27 + \dots + 3^7\).
  • a. Le premier travail est de reconnaître qu'il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique, d'identifier son premier terme, sa raison et le nombre de termes.
  • b. Ensuite, il faut calculer cette somme \(R\).

Ce sujet de contrôle pour Terminale technologique est complet : il vérifie à la fois la connaissance des formules, la capacité à les appliquer dans des exercices abstraits et la compétence à modéliser un problème concret pour le résoudre à l'aide des suites numériques. Un excellent entraînement pour le baccalauréat.