Contrôle de Mathématiques 3ème : Calculs, Fractions et Puissances

Ce sujet de contrôle corrigé pour le niveau 3ème est une excellente ressource pour s'entraîner sur les chapitres fondamentaux du calcul numérique. Il est conçu pour être réalisé sans calculatrice, renforçant ainsi les compétences en calcul mental et posé. Ce document est idéal pour les révisions du Brevet des collèges et pour valider les acquis sur les fractions, les puissances et l'écriture scientifique.

Exercice 1 : Priorités opératoires et nombres relatifs (4 points)

Cet exercice fondamental évalue la maîtrise des règles de priorités opératoires (PEMDAS/BODMAS) dans le cadre des nombres relatifs. Il est crucial de respecter l'ordre des calculs : parenthèses, exposants, multiplications et divisions, et enfin additions et soustractions. Les quatre calculs proposés testent différentes facettes de cette compétence.

• Calcul A : \( A = -5 + 4 \times (3-7) \). Il s'agit d'un calcul simple qui combine une addition, une multiplication et une soustraction entre parenthèses avec des nombres négatifs. La priorité est donnée à la parenthèse, puis à la multiplication.
• Calcul B : \( B = 20 - [6 - 2 \times (1 – 5)] \). Ce calcul introduit des parenthèses imbriquées, demandant une attention particulière à l'ordre de résolution de l'intérieur vers l'extérieur.
• Calcul C : \( C = (-5)² - 4 \times 6 \). Ici, l'élève doit correctement calculer le carré d'un nombre négatif, ce qui donne un résultat positif, avant d'effectuer la multiplication puis la soustraction.
• Calcul D : \( D = -5² + 24 \div (-4) \). Une nuance importante est testée ici : la différence entre \((-5)²\) et \(-5²\). Dans ce cas, seul le 5 est au carré. L'exercice se poursuit avec une division par un nombre négatif.

Exercice 2 : Calculs avec des fractions (3 points)

Ce deuxième exercice se concentre sur les opérations avec les fractions, une compétence essentielle du programme de 3ème. L'objectif est de calculer des expressions et de présenter le résultat sous forme de fraction irréductible, ce qui implique une simplification finale.

• Calcul A : \( A = -\frac{5}{6} + \frac{7}{9} \). Une addition de deux fractions n'ayant pas le même dénominateur. Il faut trouver un dénominateur commun avant d'effectuer l'addition.
• Calcul B : \( B = \frac{5}{8} - \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} \). Cette expression mélange une soustraction et une multiplication de fractions. La règle de priorité des opérations s'applique : la multiplication doit être effectuée en premier.
• Calcul C : \( C = \left(\frac{7}{10} - \frac{1}{4}\right) \div \frac{9}{20} \). Ce calcul combine une soustraction entre parenthèses et une division. Il faut d'abord calculer l'expression dans la parenthèse, puis effectuer la division, qui revient à multiplier par l'inverse.

Exercice 3 : Puissances et écriture scientifique (4 points)

Le dernier exercice aborde les puissances et l'écriture scientifique. Ces notions sont capitales pour manipuler des nombres très grands ou très petits, fréquemment rencontrés en sciences.

• Question a) : Simplifier l'expression \( A = \frac{3^4 \times 3^{-2}}{3} \). L'élève doit appliquer les règles de calcul sur les puissances de même base : additionner les exposants pour un produit et les soustraire pour un quotient.
• Question b) : Donner l'écriture scientifique de \( B = (5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^{7}) \). Il s'agit de regrouper et de multiplier les nombres entre eux et les puissances de 10 entre elles, puis d'ajuster le résultat.
• Question c) : Convertir un nombre décimal en écriture scientifique, et inversement. C'est une application directe de la définition.
• Question d) : Un problème concret qui demande de calculer la masse totale de grains de pollen en utilisant l'écriture scientifique, une application directe de la compétence vue à la question b).

Ce sujet de maths est un excellent outil de révision sur les chapitres de calcul numérique, fractions et puissances, préparant efficacement au Brevet.