Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale technologique, entièrement dédié au chapitre de la fonction logarithme. Ce devoir d'une heure, sans calculatrice, est un excellent outil pour s'entraîner et valider ses compétences sur le logarithme décimal, noté \(\log\). Il est structuré en trois exercices progressifs, balayant les calculs de base, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi qu'une application concrète en chimie.

Ce document est idéal pour les révisions du baccalauréat technologique, offrant un aperçu fidèle des attendus. Vous y trouverez des questions variées pour tester votre maîtrise des propriétés algébriques du logarithme et votre capacité à les appliquer dans des contextes différents.

Exercice 1 : Puissances de dix express (Réponses courtes)

Ce premier exercice est une série de questions rapides conçues pour évaluer des compétences fondamentales et des automatismes de calcul. Il est noté sur 3 points et chaque question vaut 0,5 point. Les thèmes abordés sont :

• Pourcentages : Calcul d'un taux d'évolution réciproque. Si un tarif augmente de 25%, de quel pourcentage doit-il baisser pour revenir à sa valeur initiale ?
• Notation scientifique : Calcul et écriture d'un produit sous forme scientifique, comme \((3 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-8})\).
• Conversions et proportionnalité : Un problème simple de conversion d'unités (grammes par litre en milligrammes par millilitre).
• Calculs de base avec le logarithme décimal :
  • Déterminer la valeur de \(\log(0,001)\) en utilisant la relation \(\log(10^x) = x\).
  • Calculer une expression mêlant la fonction exponentielle de base 10 et le logarithme, comme \(10^{\log(5)} \times \log(100)\), pour vérifier la compréhension de leur relation inverse.
  • Déterminer le nombre de chiffres d'un entier \(N\) à partir d'un encadrement de son logarithme : \(7 < \log(N) < 8\).

Exercice 2 : Le logarithme à la main

Cet exercice de 7 points se concentre sur la manipulation des propriétés algébriques du logarithme décimal. Il est essentiel de les maîtriser car la calculatrice est interdite. Les questions incluent :

• Simplification d'expressions : Utilisation des formules \(\log(a) + \log(b) = \log(ab)\) et \(\log(a) - \log(b) = \log(a/b)\) pour simplifier des sommes et différences de logarithmes et trouver un résultat entier. Par exemple, calculer \(\log(50) + \log(2)\).
• Manipulation algébrique : Exprimer des logarithmes comme \(\log(8)\), \(\log(0,2)\) ou \(\log(500)\) en fonction de \(\log(2)\), en décomposant les nombres en produits et quotients de 2 et 10.
• Résolution d'équations :
  • Équations exponentielles simples se ramenant à \(10^A = 10^B\), comme \(10^{2x-1} = 100 000\).
  • Équations de la forme \(a \times 10^x = b\).
  • Équations dont la solution s'exprime directement avec un logarithme, comme \(10^x = 7\).
• Résolution d'inéquations : Résolution d'une inéquation exponentielle \(10^x > 0,01\) et d'une inéquation logarithmique \(\log(x) \leq 2\), en tenant compte de l'ensemble de définition de la fonction logarithme.

Exercice 3 : Diluer un détartrant au laboratoire

Ce problème concret de 10 points est une application directe de la fonction logarithme en chimie avec le calcul du pH. La formule de base est \(pH = -\log(c)\), où \(c\) est la concentration en ions oxonium. Cet exercice évalue la capacité à modéliser une situation et à utiliser les logarithmes pour la résoudre.

• Calcul de pH : Application directe de la formule pour une concentration donnée \(c_0 = 10^{-2}\) mol/L.
• Démonstration et interprétation : Prouver que diluer une solution 10 fois (diviser sa concentration par 10) revient à augmenter son pH de 1, en utilisant la propriété \(\log(a/b)\).
• Logarithme et suites : Modélisation de dilutions successives. La concentration \(c_n\) après \(n\) dilutions suit une suite géométrique. Il faut exprimer \(c_n\) puis le pH en fonction de \(n\), et en déduire le nombre de dilutions nécessaires pour atteindre un pH cible.
• Raisonnement critique : Analyse d'une affirmation erronée ("diluer 100 fois divise le pH par 100") et calcul du pH correct.
• Calculs avancés : Utilisation d'une valeur approchée de \(\log(2)\) pour calculer un pH après une dilution plus complexe (division par 32), et inversement, retrouver une concentration à partir d'un pH non entier (\(pH=2,7\)).
• Comparaison : Comparer les concentrations de deux solutions dont la différence de pH est connue, mobilisant à nouveau les propriétés du logarithme.

Ce contrôle corrigé constitue une ressource complète pour les élèves de Terminale technologique souhaitant s'exercer sur la fonction logarithme et ses applications.